Como resolvo a seguinte equação usando o método de completar quadrados? a) 2x²+5x+3=0 b) x²-4x-12=0 Me ajudem,por favor!

Cara, em resumo, no problema a), você deve primeiro dividir toda a equação por 2, para obter o coef. principal =1. A partir disso você completa o quadrado normalmente, não esquecendo de passar para o outro lado a constante _3_ , e quando completar o quadrado, adicionar a constante nova (que será _(5/4)²_ ) dos dois lados. No problema b) você deve subtrair a constante 12 dos dois lados, e logo após, somar a nova constante (que nesse caso, é _2²_ ) que completa o quadrado dos dois lados também.

Conteúdo principal

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14

Lição 8: Mais sobre o método de completar quadrados

Resolva equações pelo método de completar quadrados
Exemplo solucionado: como completar o quadrado (coeficiente principal ≠ 1)
Método de completar quadrados
Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado: nenhuma solução
Demonstração da fórmula de Bhaskara
Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado
Revisão do método de completar quadrados
Revisão da demonstração da fórmula de Bhaskara

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Equações e funções do segundo grau>

Mais sobre o método de completar quadrados

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Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

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Por exemplo, resolva x²+6x=-2 manipulando-a para que seja (x+3)²=7 e então calculando a raiz quadrada.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Como resolver equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada
Resolução de equações do segundo grau por fatoração

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações do segundo grau obtendo a raiz quadrada ou por fatoração. Esses métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre eles podem ser usados.

Nessa lição, você vai aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

Considere a equação

x^{2} + 6 x = - 2

‍. Os métodos de obter a raiz quadrada e de fatorar não podem ser aplicados aqui.

Não dá para você simplesmente tirar a raiz quadrada de ambos os lados, porque a equação tem

x

‍ elevado à primeira potência.

Além disso, simplesmente não dá para fatorar

x^{2} + 6 x + 2

‍ como o produto de duas expressões lineares claras. Tente você mesmo, não vai dar certo.

Mas não perca as esperanças! Podemos usar o método chamado completar quadrados. Vamos começar com a resolução. Em seguida, vamos revisá-la mais detalhadamente.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Some 9, usando o método de completar quadrados. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Fatore a expressão à esquerda. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Calcule a raiz quadrada. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Subtraia 3. \end{aligned}

‍

Em conclusão, as soluções são

x = \sqrt{7} - 3

‍ e

x = - \sqrt{7} - 3

‍.

O que aconteceu aqui?

Somar

9

‍ a

x^{2} + 6 x

‍ na linha

(2)

‍ teve o feliz resultado de transformar a expressão num quadrado perfeito, que pode ser fatorado como

(x + 3)^{2}

‍. Isso nos permitiu resolver a equação após obter a raiz quadrada.

É claro que isso não foi nenhuma coincidência. O número

9

‍ foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um quadrado perfeito.

Como completar o quadrado

Para entender como escolhemos

9

‍, devemos nos fazer a seguinte pergunta: Se

x^{2} + 6 x

‍ é o início de um trinômio quadrado perfeito, qual deve ser o termo constante?

Vamos pressupor que a expressão pode ser fatorada como o trinômio do quadrado perfeito

(x + a)^{2}

‍, onde o valor da constante

a

‍ é ainda desconhecido. Esta expressão é expandida como

x^{2} + 2 a x + a^{2}

‍, o que nos diz duas coisas:

O coeficiente de $x$ ‍, que é $6$ ‍, deve ser igual a $2 a$ ‍. Isso significa que $a = 3$ ‍.
O número constante que precisamos somar é igual a $a^{2}$ ‍, que é $3^{2} = 9$ ‍.

Tente completar alguns quadrados por conta própria.

Problema 1

Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com $x^{2} + 10 x$ ‍ ?

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Problema 2

Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com $x^{2} - 2 x$ ‍ ?

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Problema 3

Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ?

Sua resposta deve ser
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍

Desafio

Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com $x^{2} + b \cdot x$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$b^{2}$ ‍
(Escolha B)
${(\frac{b}{2})}^{2}$ ‍
(Escolha C)
$(2 b)^{2}$ ‍
(Escolha D)
$\frac{b}{2}$ ‍

Esse desafio nos fornece um atalho para completar o quadrado, principalmente para aqueles que gostam de atalhos e não se importam em memorizar. Ele nos mostra que, a fim de completar a expressão

x^{2} + b x

‍ e torná-la um quadrado perfeito, em que

b

‍ é qualquer número, nós precisamos somar

{(\frac{b}{2})}^{2}

‍ à expressão.

Por exemplo, para completar a expressão

x^{2} + 6 x

‍ e transformá-la em um quadrado perfeito, somamos

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

‍ à expressão.

Resolvendo equações mais uma vez

Muito bem! Agora que você é um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.

Vamos ver um novo exemplo, a equação

x^{2} - 10 x = - 12

‍.

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Some 25, usando o método de completar quadrados. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Fatore a expressão à esquerda. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Calcule a raiz quadrada. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Some 5. \end{aligned}

‍

Para transformar a expressão original à esquerda

x^{2} - 10 x

‍ em um trinômio do quadrado perfeito, somamos

25

‍ na linha

(2)

‍. Como sempre ocorre com as equações, fizemos o mesmo do lado direito, o que fez com que esse lado aumentasse de

- 12

‍ para

13

‍.

Em geral, a escolha do número a ser somado para completar o quadrado não depende do lado direito, mas nós devemos sempre somar esse número dos dois lados.

Agora é a sua vez de resolver algumas equações.

Problema 4

Resolva $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$x = \sqrt{21} - 4$ ‍ e $- \sqrt{21} - 4$ ‍
(Escolha B)
$x = \sqrt{69} - 8$ ‍ e $- \sqrt{69} - 8$ ‍
(Escolha C)
$x = \sqrt{21} + 4$ ‍ e $- \sqrt{21} + 4$ ‍
(Escolha D)
$x = \sqrt{69} + 8$ ‍ e $- \sqrt{69} + 8$ ‍

Problema 5

Resolva $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$x = \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4}$ ‍ e $- \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4}$ ‍
(Escolha B)
$x = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$ ‍ e $- \sqrt{2} + \frac{3}{2}$ ‍
(Escolha C)
$x = \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4}$ ‍ e $- \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4}$ ‍
(Escolha D)
$x = \sqrt{2} - \frac{3}{2}$ ‍ e $- \sqrt{2} - \frac{3}{2}$ ‍

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separe os fatores variáveis do fator constante

É assim que resolvemos a equação

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

‍:

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Subtraia x . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Some 6. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Some 4, completando o quadrado. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Fatore. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Tire a raiz quadrada. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Subtraia 2. \end{aligned}

‍

Completar o quadrado em um dos lados da equação não ajuda se tivermos um termo em

x

‍ do outro lado. É por isso que subtraímos

x

‍ na linha

(2)

‍, colocando todos os termos variáveis do lado esquerdo.

Além do mais, para completar a expressão

x^{2} + 4 x

‍ tornando-a um trinômio quadrado perfeito, nós precisamos somar

4

‍, mas antes de fazer isso, precisamos nos certificar de que todos os termos constantes estejam do outro lado da equação. É por isso que nós somamos

6

‍ na linha

(3)

‍, isolando

x^{2} + 4 x

‍.

Regra 2: Certifique-se de que o coeficiente de $x^{2}$ ‍ seja igual a $1$ ‍.

Resolvemos a equação

3 x^{2} - 36 x = - 42

‍ da seguinte forma:

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Divida por 3. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Some 36, completando o quadrado. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Fatore. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Tire a raiz quadrada. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Some 6. \end{aligned}

‍

O método de completar quadrados só funciona se o coeficiente de

x^{2}

‍ for

1

‍.

No método de completar quadrados, nós comparamos a expressão fornecida com a expressão geral do quadrado perfeito

(x + a)^{2}

‍, que expandida é

x^{2} + 2 a x + a^{2}

‍. Como você pode ver, nessa expressão, o coeficiente de

x^{2}

‍ é

1

‍.

Se considerarmos uma expressão como, por exemplo,

3 x^{2} - 36 x

‍, como o início de um trinômio do quadrado perfeito, ela não será igual à fórmula geral do trinômio do quadrado perfeito,

(x + a)^{2}

‍. Na verdade, ela será igual à fórmula geral do trinômio do quadrado perfeito,

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

‍, que é expandida como

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

‍. Boa sorte para tentar resolver isso!

É por isso que, na linha

(2)

‍, dividimos pelo coeficiente de

x^{2}

‍, que é

3

‍.

Às vezes, a divisão pelo coeficiente de

x^{2}

‍ faz com que outros coeficientes se tornem frações. Isso não significa que você cometeu algum erro, isso significa que você precisa trabalhar com frações para resolver o problema.

\begin{aligned} 4 x^{2} - 4 x & = 11 \\ x^{2} - x & = \frac{11}{4} & Divida por 4. \\ x^{2} - x + \frac{1}{4} & = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} & Some \frac{1}{4}, completando o quadrado. \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} & = 3 & Fatore. \\ \sqrt{{(x - \frac{1}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{3} & Tire a raiz quadrada. \\ x - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{3} \\ x & = \pm \sqrt{3} + \frac{1}{2} & Some \frac{1}{2} . \end{aligned}

‍

Em conclusão, as soluções são

x = \sqrt{3} + \frac{1}{2}

‍ e

- \sqrt{3} + \frac{1}{2}

‍.

Agora é a sua vez de resolver uma equação como essa.

Problema 6

Resolva $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$x = \sqrt{7} - \frac{5}{2}$ ‍ e $- \sqrt{7} - \frac{5}{2}$ ‍
(Escolha B)
$x = \sqrt{10} - 5$ ‍ e $- \sqrt{10} - 5$ ‍
(Escolha C)
$x = \sqrt{7} + \frac{5}{2}$ ‍ e $- \sqrt{7} + \frac{5}{2}$ ‍
(Escolha D)
$x = \sqrt{10} + 5$ ‍ e $- \sqrt{10} + 5$ ‍

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Rony Samuel
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Como resolvo a seguinte e...” de Rony Samuel
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  A partir disso você completa o quadrado normalmente, não esquecendo de passar para o outro lado a constante 3_ , e quando completar o quadrado, adicionar a constante nova (que será _(5/4)² ) dos dois lados.
  
  No problema b) você deve subtrair a constante 12 dos dois lados, e logo após, somar a nova constante (que nesse caso, é 2² ) que completa o quadrado dos dois lados também.
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Como completar o quadrado

Resolvendo equações mais uma vez

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separe os fatores variáveis do fator constante

Regra 2: Certifique-se de que o coeficiente de x2‍ seja igual a 1‍ .

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