Interprete modelos de segundo grau: forma fatorada

RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos resolver um exercício de função quadrática na qual vamos utilizar a forma fatorada. Para isso, temos o seguinte aqui: "Rodrigo observa um helicóptero decolar de uma plataforma. A altura do helicóptero (em metros acima do solo), "t" minutos após a decolagem, é modelada pela equação: h(t) = -3t² + 24t + 60. Rodrigo quer saber quando o helicóptero vai pousar." Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então. A primeira coisa que vamos fazer aqui é tentar descobrir, mais ou menos, como é o gráfico desta função. Para isso, eu construo um plano cartesiano aqui, onde o eixo horizontal vai ser o eixo do tempo, em minutos, e o eixo vertical é a altura, em metros. Eu não sei como é o gráfico da minha função ainda, mas sei que ela tem um coeficiente "a" negativo e, por causa disso, tem uma concavidade voltada para baixo. Além disso, o exercício diz que o helicóptero decola de uma plataforma. Então, não vai decolar da altura zero. Vai ser mais ou menos assim. Vai subindo e, em um certo tempo, começa a descer até pousar. O gráfico vai ser mais ou menos assim. E, se o exercício pede o ponto mais alto que o helicóptero vai estar, vai ser o vértice. Vai ser mais ou menos assim. Além disso, ele também pode perguntar em que tempo isso acontece. Em ambos os casos, bastaria descobrir as coordenadas deste ponto, ou seja, as coordenadas do vértice desta parábola. Mas não é isso que o exercício está pedindo. O que ele quer é: quando o helicóptero vai pousar? Vai ser neste tempo aqui. Se quisermos encontrar o vértice desta parábola, podemos colocar esta função na forma do vértice, que já vimos aqui na Khan Academy. Mas, para descobrirmos este tempo, pegamos a função e igualamos a zero. Ou seja, queremos saber qual, ou quais, valores de "t" que fazem com que esta função aqui se torne zero. Claro que você pode utilizar a fórmula de resolução da equação do segundo grau, mas a forma mais rápida é igualar esta função a zero e tentar fatorá-la. Ou seja, pegamos -3t² + 24t + 60 e igualamos a zero. Neste caso, podemos simplificar o "a" dividindo toda a equação por -3. E aí vamos ficar com -3t² dividido por -3, que vai dar t², mais 24t dividido por -3, que vai dar -8t, mais 60 dividido por -3, que vai dar -20, e zero dividido por -3 ainda vai ser zero. Então, igual a zero. E, como eu disse, a partir daqui, você pode utilizar a fórmula de resolução da equação do segundo grau. Mas, uma forma mais rápida é fatorar esta igualdade. Para isso, eu penso em dois números que, multiplicados, vão dar -20 e que, somados, vão dar -8. Pensando rapidamente aqui, - 10 vezes 2 vai dar -20 e, ao mesmo tempo, somados, vão dar -8. Então, eu posso escrever esta equação como: (t - 10) vezes (t + 2) = 0. E, se duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, então, uma delas tem que ser zero. Ou seja, t - 10 = 0, ou então t + 2 = 0. E, se somarmos 10 em ambos os membros desta igualdade, vamos ter que t = 10. Ou então, se subtrairmos 2 em ambos os membros desta igualdade, vamos ter que t = -2. Então, tem dois momentos em que a função é igual a zero: quando t = -2 ou então, quando t = 10. Mas claro, estamos assumindo que estamos lidando com um tempo positivo. Portanto, t = -2 vai ser descartado. Isso porque não sabemos o que está acontecendo antes da decolagem. Ou seja, t = 10 minutos é o momento em que o helicóptero vai pousar. E claro, para saber a altura da plataforma, basta colocarmos o "t" igual a zero, e aí estes dois termos vão se anular. Com isso, vamos ter uma altura de 60 metros, que é a altura da decolagem. A partir daqui, o helicóptero sobe, chega até o vértice, que é o ponto mais alto que ele vai atingir, e, depois disso, começa a pousar. Enfim, eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!