Problema com expressão do segundo grau: bola

RKA - Uma bola é jogada no ar da extremidade de um prédio 50 metros acima do chão. Sua velocidade inicial é de 20 metros por segundo. A equação h, e acho que h é para altura, h = -16t² + 20t + 50, pode ser usada para a altura da bola depois de t segundos. E acho que, nesse problema, eles só querem que a gente aceite essa fórmula. No entanto, derivamos fórmulas como essa. Nos vídeos da Khan Academy de física, a gente mostra como funciona esse tipo de problema, mas nesse exemplo, só vamos fazer o que eles querem. Então, eles dão a equação que usamos para encontrar a altura da bola depois de (t) segundos, e perguntam quanto tempo leva para a bola chegar ao chão. Se essa é a altura, o chão é quando a altura é igual a zero, literalmente batendo no chão. Significa que h = 0, então precisamos encontrar quantas vezes h é igual a zero. Estamos realmente resolvendo a equação. 0 = -16t² + 20t + 50. E se quiser simplificar um pouco, vamos ver se tudo aqui é divisível pelo menos por 2. A gente vai dividir tudo por -2, só para nos livrarmos desse coeficiente negativo, então você divide o lado esquerdo por -2 e ainda obtém zero. Aqui, -16 dividido por -2 que é 8, então 8t². 20 dividido por -2 é igual a -10, -10t. 50 dividido por -2 é -25, igual a zero. 8t² - 10t - 25 = 0. Se achar melhor ter isso do lado esquerdo, pode colocar do lado esquerdo. Podemos dizer que isso é igual a zero. Resolvemos. E a gente pode completar o quadrado aqui, ou só aplicar a fórmula de Bhaskara da qual é derivada, completando o quadrado. E temos isso na forma padrão, sabemos que esse é nosso "a", esse é o nosso "b", e esse aqui é o nosso "c". E a fórmula de Bhaskara nos diz que as raízes, nesse caso os termos da variável t, serão iguais a - b mais ou menos a raiz quadrada de b² menos 4ac. E isso tudo sobre 2a. Então, se aplicarmos isso, obtemos: t = - b. b é -10, então - (-10) será +10. Mais ou menos a raiz quadrada de -10². Bom, isso é +100 menos 4 vezes a que é 8, vezes c que é -25. E, tudo isso, sobre 2 vezes "a". "a" é 8, então 2 vezes 8 é 16. E, aqui, vamos ver se podemos simplificar um pouco. Sinal negativo vezes negativo dá positivo, 4 vezes 25 é igual a 100, e 100 vezes 8 é 800. Tudo simplifica para 800, e temos 100 mais 800 dentro da raiz. Então, 10 mais ou menos a raiz quadrada de 900, tudo sobre 16, é igual a 10 mais ou menos 30 sobre 16. A gente obtém tempo igual a t = (10 + 30) / 16. 40/16 que é a mesma coisa que, se dividirmos o numerador e um denominador por 8 para simplificar. É igual a 5/2, que é uma solução. Se a gente somar o 30, temos também que subtrair o 30. Ou t é igual a 10 - 30, que é -20, sobre 16. Divida o numerador e o denominador por 4, e obtenha: -5/4. Agora, temos que lembrar que estamos tentando encontrar um tempo. Um tempo, pelo menos nesse problema, é um tempo positivo. Queremos achar quanto tempo leva para a bola chegar ao chão, não queremos voltar no tempo. Não queremos um tempo negativo, nesse caso, o tempo negativo não convém. Só queremos pensar sobre nossa resposta positiva, e isso nos diz que a única raiz que deve funcionar é 5/2. Temos que assumir isso em segundos, 5/2 segundos. Eu não estou muito preocupado com a física aqui, acho que eles só querem que apliquemos a fórmula de Bhaskara nessa situação. A física, nós vemos muito mais a fundo nos vídeos de física, então vamos verificar que definitivamente estamos na altura de zero, para 5 segundos sobre 2. Se t = 5/2, essa expressão diz que h = 0, então temos, vamos tentar, temos -16 vezes (5/2)², mais 20 vezes (5/2), mais 50. Isso precisa ser igual a 0. Então é -16 vezes (25/4) mais, vamos ver, se dividirmos 20 por 2 obtemos 10, se a gente dividir 2 por 2 obtemos 1, então 10 vezes 5 será 50, mais 50. Isso precisa ser igual a zero. -16 dividido por 4 é -4. 4 dividido por 4 é 1, -4 vezes 25 que é -100, mais 50. -100 mais 50, mais 50, então temos -100 +100. Definitivamente isso vai ser zero, temos é igual a zero e está tudo certo. A gente chegou ao chão depois de 5/2 segundos, ou, outra forma de pensar sobre isso é 2,5 segundos. Então t = 5/2 segundos, ou t = 2,5 segundos.