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como resolver monômios , geratrizes , raízes quadradas e equações?

isso é muita coisa para uma simples explicação, mas estes assuntos podem ser encontrados em noções de álgebra. vale apena conferir: https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics?t=table-of-contents

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Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14

Lição 3: Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada

Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada

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Aprenda a resolver equações do segundo grau como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência

x^{1} = x

Agora, você vai aprender a resolver equações de segundo grau, que incluem termos em que a variável é elevada à segunda potência,

x^{2}

Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações do segundo grau que você vai aprender a resolver:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

Você talvez ache isso confuso, porque a equação não tem um fator com

x^{2}

. Entretanto, ela tem

(x - 2)^{2}

, que é uma expressão que contém

x

elevado à segunda potência.

Se você não estiver convencido(a), pode eliminar os parênteses nessa expressão e ver qual equação você obtém.

$\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = 49 \end{aligned}$ ‍

Essa equação agora tem

x^{2}

, então, sem dúvida, é uma equação do segundo grau.

2 x^{2} + 3 = 131

Agora, mãos à obra.

Como resolver $x^{2} = 36$ ‍ e equações semelhantes

Suponha que queiramos resolver a equação

x^{2} = 36

. Vamos primeiro verbalizar o que a equação está nos pedindo para calcular. Ela nos pergunta qual número, quando multiplicado por ele mesmo, é igual a $36$ ‍?

Se esta pergunta soa familiar, é porque essa é a definição da raiz quadrada de 36, que é expressa matematicamente como

\sqrt{36}

Agora, veja como é a solução completa da equação:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & Extraia a raiz quadrada. \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

O que significa o sinal $\pm$ ‍

Note que todo número positivo tem duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Por exemplo, tanto

6

quanto

- 6

, quando elevados ao quadrado, são iguais a

36

. Portanto, essa equação tem duas soluções.

\pm

é apenas uma maneira eficiente de representar esse conceito matematicamente. Por exemplo,

\pm 6

significa "

6

- 6

Observação sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: Se a variável era somada a

3

, subtraíamos

3

de ambos os lados. Se a variável era multiplicada por

4

, dividíamos ambos os lados por

4

A operação inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada. Entretanto, diferente das outras operações, quando tiramos a raiz quadrada, devemos lembrar de tirar a raiz quadrada positiva e a negativa.

Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.

Problema 1

Resolva $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Problema 2

Resolva $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Problema 3

Resolva $x^{2} = 5$ ‍.

Como resolver $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ e equações semelhantes

A seguir, mostramos como resolver a equação

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & Extraia a raiz quadrada. \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & Some 2. \end{aligned}

Portanto, as soluções são $x = 9$ ‍ e $x = - 5$ ‍.

Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

Isolando o $x$ ‍

Usando a operação inversa do cálculo da raiz quadrada, removemos o sinal de quadrado. Isso foi importante para isolar o

x

, mas ainda precisávamos somar

2

na última etapa para realmente isolar o

x

Entendendo as soluções

Nosso cálculo terminou com

x = \pm 7 + 2

. Como devemos interpretar essa expressão? Lembre-se de que

\pm 7

significa "

+ 7

- 7

." Portanto, devemos dividir nossa resposta de acordo com os dois casos:

x = 7 + 2

x = - 7 + 2

Isso nos dá as duas soluções,

x = 9

x = - 5

Para verificar, precisamos inserir as soluções na equação.

$x = 9$ ‍	$x = - 5$ ‍
$\begin{aligned} (9 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 7^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} (- 5 - 2)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ (- 7)^{2} & \overset{?}{=} 49 \\ 49 & \overset{✓}{=} 49 \end{aligned}$ ‍

Em ambos os casos, ao substituirmos a solução na equação obtivemos uma afirmação verdadeira, então, estas são realmente soluções da equação.

Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.

Problema 4

Resolva $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

Problema 5

Resolva $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

Problema 6

Resolva $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

Porque não devemos eliminar os parênteses

Vamos voltar à equação do exemplo,

(x - 2)^{2} = 49

. Imagine que queremos eliminar os parênteses nessa equação. Afinal, é o que fazemos em equações lineares, certo?

Ao eliminar os parênteses, obtemos a seguinte equação:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Se quiséssemos extrair a raiz quadrada desta equação, precisaríamos calcular a raiz quadrada da expressão

x^{2} - 4 x + 4

, mas não está claro se

\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}

pode ser reescrita como uma boa expressão.

Por outro lado, ao tirar a raiz quadrada de expressões como

x^{2}

(x - 2)^{2}

, obtemos expressões legais como

x

(x - 2)

Portanto, na verdade, é mais prático manter tudo fatorado em equações do segundo grau, pois isso nos permite tirar a raiz quadrada.

Como resolver $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ e equações semelhantes

Nem todas as equações do segundo grau são resolvidas tirando a raiz quadrada imediatamente. Às vezes, precisamos isolar o termo elevado ao quadrado antes de tirar sua raiz quadrada.

Por exemplo, para resolver a equação