Esta com algum problema na hora de inserir a resposta 2) Fatore x^2-100x 2 −100x, start superscript, 2, end superscript, minus, 100. A resposta que coloco esta correta, porque da erro? As demais também.

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Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 7: Fatoração de expressões do segundo grau com diferença de dois quadrados

Fatoração de expressões do segundo grau: diferença de dois quadrados

Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "diferença de dois quadrados". Por exemplo, escreva x²-16 como (x+4)(x-4).

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.

Neste artigo, vamos aprender a usar o padrão da diferença de quadrados para fatorar alguns polinômios. Se você não conhece o padrão da diferença de quadrados, confira nosso vídeo antes de continuar.

Introdução: padrão da diferença de dois quadrados

Todo polinômio que é uma diferença de dois quadrados pode ser fatorado aplicando-se a fórmula a seguir:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Observe que, no padrão,

a

b

podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para

a = x

b = 2

, obteremos o seguinte:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

O polinômio

x^{2} - 4

está, agora, expresso em sua forma fatorada,

(x + 2) (x - 2)

. Podemos expandir o lado direito dessa equação para justificar a fatoração:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorar mais alguns polinômios.

Exemplo 1: fatoração de $x^{2} - 16$ ‍

Tanto

x^{2}

como

16

são quadrados perfeitos, já que

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Em outras palavras:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Como os dois quadrados estão sendo subtraídos, podemos ver que esse polinômio representa uma diferença de dois quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar essa expressão:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

No nosso caso,

a = x

b = 4

. Portanto, nosso polinômio é fatorado da maneira a seguir:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Podemos conferir nosso trabalho verificando se o produto desses dois fatores é

x^{2} - 16

Teste seu conhecimento

1) Fatore $x^{2} - 25$ ‍.

2) Fatore $x^{2} - 100$ ‍.

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar $x^{2} + 25$ ‍?

Exemplo 2: fatoração de $4 x^{2} - 9$ ‍

O coeficiente principal não precisa ser igual a

1

para usarmos o padrão da diferença de dois quadrados. Na verdade, o padrão da diferença de dois quadrados pode ser usado aqui!

Isso porque

4 x^{2}

9

são quadrados perfeitos, já que

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Podemos usar essa informação para fatorar o polinômio usando o padrão da diferença de dois quadrados:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Uma rápida multiplicação verifica nossa resposta.

Teste seu conhecimento

4) Fatore $25 x^{2} - 4$ ‍.

5) Fatore $64 x^{2} - 81$ ‍.

6) Fatore $36 x^{2} - 1$ ‍.

Desafios

7*) Fatore $x^{4} - 9$ ‍.

Tanto

x^{4}

como

9

são quadrados perfeitos, já que

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

. Como os termos estão sendo subtraídos, podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar o polinômio.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

Perceba que podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar polinômios que não são quadráticos. Desde que o polinômio possa ser expresso como uma diferença de dois quadrados, nós podemos usar o padrão!

8*) Fatore $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.