Deve dar o mesmo resultado se for resolvido usando a fórmula de bhaskara? Porque o meu está dando resultados com sinais trocados... Ex: x²-8x-9 Δ=(-8)²-4.1(-9) Δ= 64+36 Δ=100 x=-(-8)+-√100 ----------------- ********2******** x¹= 9 x²= -1 Não deveria dar (-9, 1) como da usando esse outro método? Ou foi erro meu? Desde já, grata!

A conta está certa, mas a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo(-1).

Socorro entendi quase nada, será que isso vai ser muito importante para minha vida ??

Se você não planeja trabalhar em um campo que exija conhecimento matemático avançado, esses conceitos matemáticos específicos podem ter uma importância limitada em sua vida diária. A matemática é uma disciplina ampla, e muitos tópicos matemáticos são mais relevantes para algumas pessoas do que para outras. No entanto, a capacidade de raciocínio lógico, solução de problemas e pensamento crítico que a matemática ajuda a desenvolver pode ser valiosa em muitos aspectos da vida, independentemente da área de atuação. Portanto, mesmo que você não use conceitos matemáticos avançados em seu dia a dia, os benefícios do pensamento matemático podem ser aplicados em diversos contextos.

Constelações podem sumir por completo?Ou isso levaria milhões de anos?

Podem sumir, mas levaria mais tempo que apenas milhões de anos... Para a vida de uma estrela de quarta ou maior geração, milhões de anos é nada :)

por que quando olhamos de longe a lua fica maior

Talvez porque você nunca á viu de perto.

(x+5)(x+4) é diferente de (x+4)(x+5)??

Não, essa é uma das propriedades da multiplicação. Comutativa.

Conteúdo principal

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 5: Introdução à fatoração de expressões do segundo grau

Fatoração de equações do segundo grau: coeficiente principal = 1

Google Sala de Aula

Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como o produto de dois ou mais polinômios. Isso inverte o processo de multiplicar polinômios. Para saber mais, confira nosso artigo anterior sobre como colocar fatores comuns em evidência.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você aprenderá como fatorar um polinômio na forma

x^{2} + b x + c

como um produto de dois binômios.

Revisão: multiplicação de binômios

Vamos considerar a expressão

(x + 2) (x + 4)

Podemos encontrar o produto aplicando a propriedade distributiva várias vezes.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

Algumas pessoas usam o acrônimo

F A D D

para ajudá-los a multiplicar dois binômios.

Essa é uma maneira de garantir que cada termo no primeiro binômio seja multiplicado por cada termo no segundo. Especificamente, isso nos lembra de multiplicar os termos de

Fora

do binômio, então os primeiros termos (os que vêm

Antes

), então os termos de

Dentro

e finalmente os segundos termos (os que vêm

Depois

Por exemplo, usando o método FADD para multiplicar

(x + 2) (x + 4)

, teríamos:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

Embora esteja correto, o método FADD parece um pouco misterioso. É mais simples entender que cada termo do primeiro polinômio multiplica cada termo do segundo termo quando aplicamos a propriedade distributiva duas vezes.

Então, temos que

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

A partir disso, vemos que

x + 2

x + 4

são fatores de

x^{2} + 6 x + 8

, mas como podemos encontrar estes fatores se não começamos com eles?

Fatoração de trinômios

Nós podemos reverter o processo de multiplicação de binômios mostrado acima para fatorar um trinômio (que é um polinômio com

3

termos ).

Em outras palavras, se começarmos com o polinômio

x^{2} + 6 x + 8

, podemos usar a fatoração para escrevê-lo como um produto de dois binômios,

(x + 2) (x + 4)

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos para ver como isso é feito.

Exemplo 1: fatoração de $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Para fatorar

x^{2} + 5 x + 6

, precisamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

6

(a constante) e cuja soma seja

5

(o coeficiente de

x

Esses dois números são

2

3

, uma vez que

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

Podemos criar uma lista de todos os números cujo produto é

6

. Então, dentro dessa lista, procuramos aqueles cuja soma é

5

Produto: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + 3)

Concluindo, fatoramos o trinômio assim:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Para verificar a fatoração, basta multiplicar os dois binômios:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

O produto de

x + 2

x + 3

é de fato

x^{2} + 5 x + 6

. Nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

1) Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

Para fatorar

x^{2} + 7 x + 10

, precisamos encontrar os fatores de

10

cuja soma é

7

A tabela abaixo mostra todos os fatores possíveis de

10

e suas somas.

Produto: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

Apenas um par de fatores satisfaz as condições do problema:

2

5

Podemos somar cada um desses números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + 5)

. A fatoração do polinômio é dada abaixo.

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

1) Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

Para fatorar

x^{2} + 9 x + 20

, precisamos encontrar os fatores de

20

cuja soma é

9

A tabela abaixo mostra todos os fatores possíveis de

20

e suas somas.

Produto: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

Apenas um par de fatores satisfaz as condições do problema:

4

5

Podemos somar cada um desses números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 4)

(x + 5)

. A fatoração do polinômio é dada abaixo.

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

Vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: fatoração de $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Para fatorar

x^{2} - 5 x + 6

, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

6

e a soma seja

- 5

Esses dois números são

- 2

- 3

, uma vez que

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

Podemos criar uma lista de todos os números cujo produto é

6

. Então, dentro dessa lista, procuramos aqueles cuja soma é

- 5

Produto: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Padrão de fatoração: Observe que os números necessários para fatorar

x^{2} - 5 x + 6

são ambos negativos

(- 2

- 3)

. Isso ocorre porque seu produto deverá ser positivo

(6)

e sua soma, negativa

(- 5)

Em geral, quando fatoramos

x^{2} + b x + c

, se

c

for positivo e

b

for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: fatoração de $x^{2} - x - 6$ ‍

Podemos escrever

x^{2} - x - 6

como

x^{2} - 1 x - 6

Para fatorar

x^{2} - 1 x - 6

, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja

- 6

e a soma seja

- 1

Esses dois números são

2

- 3

, uma vez que

(2) \cdot (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

Podemos criar uma lista de todos os números cujo produto é

- 6

. Então, dentro dessa lista, procuramos aqueles cuja soma é

- 1

Produto: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot 6 = - 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot (- 6) = - 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

Podemos então somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + (- 3))

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Padrões de fatoração: Observe que para fatorar

x^{2} - x - 6

, nós precisamos de um número positivo

(2)

e um número negativo

(- 3)

. Isso porque o produto deles deve ser negativo

(- 6)

Em geral, ao fatorar

x^{2} + b x + c

, se

c

é negativo, então um fator será positivo e um fator será negativo.

Resumo

Em geral, para fatorar um trinômio na forma

x^{2} + b x + c

, precisamos encontrar os fatores de

c

cuja soma seja

b

Suponhamos que esses dois números sejam

m

n

, sendo que

c = m n

b = m + n

, então

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Teste seu conhecimento

3) Fatore $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

Para fatorar

x^{2} - 8 x - 9

, precisamos encontrar os fatores de

- 9

cuja soma é

- 8

Como a multiplicação dos dois números deve dar

- 9

, um deve ser positivo e outro deve ser negativo.

Os fatores de

- 9

estão listados na tabela abaixo.

Produto: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

Note que

1

- 9

cumprem estes requisitos. Podemos somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 1)

(x + (- 9))

. A fatoração do polinômio é dada abaixo.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) Fatore $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

Para fatorar

x^{2} - 10 x + 24

, precisamos encontrar os fatores de

24

cuja soma é

- 10

Como a multiplicação dos dois números deve dar

24

e sua soma deve dar

- 10

, os dois números devem ser negativos.

Os fatores de

24

(em que ambos são negativos) estão listados na tabela abaixo.

Produto: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

Note que

- 4

- 6

cumprem esses requisitos. Nós podemos somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + (- 4))

(x + (- 6))

. A fatoração do polinômio é dada abaixo.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) Fatore $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

Para fatorar

x^{2} + 7 x - 30

, precisamos encontrar os fatores de

- 30

cuja soma é

7

Como a multiplicação dos dois números deve dar

- 30

, um deve ser positivo e outro deve ser negativo.

Os fatores de

- 30

estão listados na tabela abaixo.

Produto: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	Soma: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = - 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = - 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot (- 6) = - 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

Observe aqui que

- 3

10

satisfazem esses requisitos. Podemos somar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + (- 3))

(x + (10))

. A fatoração do polinômio é dada abaixo.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

Por que isso dá certo?

Para entender por que este método de fatoração funciona, vamos voltar ao exemplo original, no qual fatoramos

x^{2} + 5 x + 6

como

(x + 2) (x + 3)

Se voltarmos e multiplicarmos os dois fatores do binômio, podemos ver o efeito que feito que o

2

e o

3

têm na formação do produto

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Nós vemos que o coeficiente do termo

x

é a soma de

2

3

, e o termo constante é o produto de

2

3

Padrão soma-produto

Vamos repetir o que acabamos de fazer com

(x + 2) (x + 3)

para

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Para resumir esse processo, nós pegamos a seguinte equação:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Isso é chamado o padrão de soma-produto.

Isso mostra porque, uma vez que expressamos um trinômio

x^{2} + b x + c

como

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(encontrando dois números

m

n

tais que

b = m + n

c = m \cdot n

), nós podemos fatorar o trinômio como

(x + m) (x + n)

Pergunta para reflexão

6) Esse método de fatoração pode ser usado para fatorar $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

Quando podemos usar este método para fatorar?

Em geral, o método de soma-produto é aplicável apenas quando podemos realmente escrever um trinômio como

(x + m) (x + n)

para alguns números

m

n

inteiros.

Isso significa que o termo principal do trinômio deve ser

x^{2}

(e não, por exemplo,

2 x^{2}

) para que esse método seja considerado. Isso porque o produto de

(x + m)

(x + n)

sempre será um polinômio com termo principal de

x^{2}

No entanto, nem todos os trinômios com termo principal

x^{2}

podem ser fatorados. Por exemplo,

x^{2} + 2 x + 2

não pode ser fatorado porque não existem dois inteiros cuja soma seja

2

e cujo produto seja

2

Em lições futuras iremos aprender outras formas de fatorar mais tipos de polinômios.

Desafios

7*) Fatore $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

8*) Fatore $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

O polinômio está na forma

x^{2} + b x + c

, embora uma substituição torne isso mais fácil de ver.

Seja

Y = x^{2}

. Nós podemos agora escrever o polinômio assim:

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

Como

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

, os fatores polinomiais serão:

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

Agora, como

Y = x^{2}

, podemos substituir de volta para encontrar a fatoração do polinômio original.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

A fatoração é

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

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aninha.000silva
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Deve dar o mesmo resultad...” de aninha.000silva
Deve dar o mesmo resultado se for resolvido usando a fórmula de bhaskara? Porque o meu está dando resultados com sinais trocados...

Ex: x²-8x-9
Δ=(-8)²-4.1(-9)
Δ= 64+36
Δ=100
x=-(-8)+-√100
-----------------
*******2*******
x¹= 9
x²= -1

Não deveria dar (-9, 1) como da usando esse outro método? Ou foi erro meu?
Desde já, grata!
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(6 votos)
Resposta
- Lindembergson Moreno
  Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “A conta está certa, mas a...” de Lindembergson Moreno
  A conta está certa, mas a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo(-1).
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  (2 votos)
Lalita Upadhyay
Publicado há há 9 meses. Link direto para a postagem “Socorro entendi quase nad...” de Lalita Upadhyay
Socorro entendi quase nada, será que isso vai ser muito importante para minha vida ??
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(3 votos)
Resposta
- Gabriel Carlos
  Publicado há há 7 meses. Link direto para a postagem “Se você não planeja traba...” de Gabriel Carlos
  Se você não planeja trabalhar em um campo que exija conhecimento matemático avançado, esses conceitos matemáticos específicos podem ter uma importância limitada em sua vida diária. A matemática é uma disciplina ampla, e muitos tópicos matemáticos são mais relevantes para algumas pessoas do que para outras.
  
  No entanto, a capacidade de raciocínio lógico, solução de problemas e pensamento crítico que a matemática ajuda a desenvolver pode ser valiosa em muitos aspectos da vida, independentemente da área de atuação. Portanto, mesmo que você não use conceitos matemáticos avançados em seu dia a dia, os benefícios do pensamento matemático podem ser aplicados em diversos contextos.
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  (5 votos)
Eduardo Saldanha
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Constelações podem sumir ...” de Eduardo Saldanha
Constelações podem sumir por completo?Ou isso levaria milhões de anos?
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(3 votos)
Resposta
- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Podem sumir, mas levaria ...” de Luiz Portella
  Podem sumir, mas levaria mais tempo que apenas milhões de anos... Para a vida de uma estrela de quarta ou maior geração, milhões de anos é nada :)
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  (3 votos)
jessicaoliveira13
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “por que quando olhamos de...” de jessicaoliveira13
por que quando olhamos de longe a lua fica maior
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Resposta
- Jorge Luis
  Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Talvez porque você nunca ...” de Jorge Luis
  Talvez porque você nunca á viu de perto.
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Alex Barros
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “(x+5)(x+4) é diferente de...” de Alex Barros
(x+5)(x+4) é diferente de (x+4)(x+5)??
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Resposta
- Daniel
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Não, essa é uma das propr...” de Daniel
  Não, essa é uma das propriedades da multiplicação. Comutativa.
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kauane.padilha.barbosa
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “como é que eu faço isso m...” de kauane.padilha.barbosa
como é que eu faço isso me ajuda por favor
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lunxily
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “sla (Escolha B) B” de lunxily
sla
(Escolha B)

B
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renan.davide.castro
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “mds laila lindaaaaaaaa” de renan.davide.castro
mds laila lindaaaaaaaa
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julia.nascimento.padilha
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “xxmxmeejfn xifn vrjv inio...” de julia.nascimento.padilha
xxmxmeejfn xifn vrjv iniojjwfnegnreugbnugberjnknknskjkkkkjjkkkhkhjhgghffdsaasdfghjmnbvcdrtyuikbvcvbnkkkjjkjkjkjhjguygyugyu
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