A derivada e equações da reta tangente

[RKA20C] A tangente ao gráfico f no ponto (2, 3) passa pelo ponto (7, 6). Determine o f' no ponto 2. Bem, vamos desenhar o gráfico e entender o que está acontecendo. Nós temos aqui o eixo y, temos o eixo x, temos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6. E a função toca o ponto (2, 3). Então, ela toca esse ponto (2, 3). Mas a tangente ao gráfico da função f passa pelo ponto (7, 6). Então, a tangente que passa pelo ponto 2 é alguma coisa deste tipo aqui. A curva pode ser uma curva qualquer. Tipo... desta forma aqui, alguma coisa desse tipo, que tenha a tangente neste ponto. Bem, nós sabemos que f'(2) é a inclinação dessa tangente no ponto 2. Portanto, vamos ver quanto ela varia no eixo x e quanto ela varia no eixo y. Aqui é o nosso Δy. Aqui é nosso Δx. Essa variação no Δy e essa variação no Δx vão nos dar a inclinação. Aqui ela variou, em Δy, de 3 para 6. Então, variou 3. No Δx, variou de 2 até 7. Portanto, variou 5. Então, a nossa inclinação f'(2) vai ser o nosso Δy/Δx, que vai ser igual a 3/5. Vamos fazer outra! Para uma determinada função g, é dado que g(-1) = 3, e é dado que g'(-1) = -2. Qual é a equação da reta tangente do gráfico de g em x = -1? Vamos plotar o gráfico para visualizar o que está acontecendo. Aqui nós temos o eixo y, aqui temos o eixo x. Então, o ponto é -1. No ponto -1, g = 3: 1, 2, 3. Então, no ponto -1, ele vale 3, ele passa por esse ponto (-1, 3). E a inclinação da reta é -2. Então, significa que, se eu andar 1 para a direita, vou andar 2 para baixo, ou seja, a inclinação vai ser algo deste tipo aqui, vai passar por este ponto aqui. Bem, como podemos escrever a equação da reta tangente ao gráfico de g em x = -1? Sabemos que y = m . x + b. Aqui é o nosso coeficiente angular, e aqui é o nosso coeficiente linear. Sabemos também que a inclinação, o nosso m, é -2. Foi dado no ponto -1. Então, y = -2x + b. Mas também sabemos que ele passa pelo ponto (-1, 3), ou seja, quando x for -1, y vale 3. Então, 3 = -2(-1) + b. 3 = 2 + b. Portanto, b = 1. Agora, temos a equação da nossa reta. A nossa reta tangente, que passa pelo ponto -1, vai ser y = -2, que é a inclinação, vezes x, mais 1, que acabamos de determinar. Portanto, a equação da nossa reta tangente é: y = -2x + 1 quando ela passa no ponto x = -1.