Exemplo resolvido: ponto onde uma função é contínua

RKA2G - Nós estamos aqui uma função g(x) que é igual a log (3x) para todos os valores que estão entre zero e 3 e (4 - x) vezes log (9) para todo "x" que é maior ou igual a 3. E o que nós queremos fazer aqui é calcular o limite quando "x" tende a 3 para esta função. Ok, o que nós precisamos fazer aqui é encontrar o limite para esta função. Mas o limite desta função só vai existir quando os limites laterais para esta função forem iguais. Neste caso, o que você precisa fazer é calcular o limite para esta função do lado esquerdo, quando "x" tende a 3 pela esquerda, e também calcular o limite quando "x" tende a 3 pela direita. Se os dois limites tiverem o mesmo valor, isso significa que esse vai ser o valor do limite para essa função g(x). Vamos lá, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é calcular o limite quando "x" tende a 3 pela esquerda. Isso de g(x). Então, vamos calcular o limite com "x" tendendo a 3 pela esquerda para este g(x). Neste caso aqui, g(x), quando "x" tende a 3 pela esquerda, vai ser qual das duas expressões aqui? Se a gente considera que tenha um valor "x" que vai de zero até 3, quando "x" está tendendo a 3 pela esquerda, vale esta expressão aqui. Então, a gente vai calcular o limite para esta função em que esta função vai ser igual a log (3x). Vai ser o limite com o "x" tendendo a 3 do log (3x). Para calcular esse limite, nós precisamos ter a ideia de continuidade, saber se esta função é contínua neste intervalo. A gente sabe que uma função log é contínua para todos os valores maiores que zero. Como aqui nós estamos dizendo que o domínio de "x" está entre zero e 3, significa que este "x" vai ser um valor maior que zero. Então, esta função é definida e contínua neste intervalo. Nós podemos calcular este limite. E para calcular este limite, basta substituir este "x" por 3. Assim, a gente vai ter que o limite de "x" tendendo a 3 pela esquerda vai ser igual ao log (3 vezes 3). E 3 vezes 3 = 9. Então, a gente vai ter log (9). Lembrando que, todas as vezes que a gente coloca apenas o log, está implícito que a base é 10. Temos aqui o log na base 10. Tudo isto é o log₁₀. Vai ser o log₁₀ (9). E este é o limite com "x" tendendo a 3 pela esquerda neste função g(x). A gente pode fazer a mesma coisa agora, calculando o limite com "x" tendendo a 3, só que, agora, pela direita. Isso, claro, para a função g(x). Então, isto vai ser igual ao limite com "x" tendendo a 3 pela direita da função g(x). Neste caso, qual a expressão que a gente vai usar quando "x" se aproxima de 3 pela direita? A gente sabe que a expressão para esta função é igual a (4 - x) vezes log (9) para todos os valores que são maiores ou iguais a 3. Então, se a gente está se aproximando do 3 pela direita, Vamos usar esta outra expressão. Vai ser o limite com "x" tendendo a 3 de (4 - x) vezes log (9). Novamente, a gente vai olhar a ideia de continuidade neste intervalo. Se você reparar, log (9) é uma constante, certo? Se é uma constante, a gente pode até jogar este log (9) para fora do limite e calcular apenas o limite de (4 - x). E (4 - x) é definido em todo o conjunto dos números reais, e é contínuo em todo esse conjunto. Mas como a gente quer valores que são maiores ou iguais a 3, a gente pode dizer com toda certeza que esta função vai ser contínua neste intervalo. Assim, para calcular este limite, basta substituir este "x" por 3. Vamos ter algo igual a 4 - 3, vezes log₁₀ (9). 4 - 3 = 1, 1 vezes log (9) é o próprio log (9). Então, vai ser log₁₀ (9). Como aqui nós temos os dois limites laterais sendo iguais e igual a log (9), a gente pode dizer que o limite com "x" tendendo a 3 de g(x) vai ser igual a log₁₀ (9). Esta é a resposta do limite de g(x), com "x" tendendo a 3. Observe que, todas as vezes que você quiser calcular o limite de uma função que tenha esta forma, você vai precisar calcular os limites laterais. Caso esses limites laterais sejam iguais, esse vai ser o limite dessa função.