2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1d

RKA3JV - Parte "d". Encontre a distância percorrida pela partícula entre o tempo t = 0 e t = 3, ou "t" maior ou igual a zero, ou "t" menor ou igual a 3. Vamos plotar alguns eixos para ter certeza. E isso não seria necessário se você estivesse com um pouco de tempo no exame AP. Mas, minha intenção é que todos entendam o que está acontecendo. Então, quando t = 0, onde estamos? Bom, sabemos que x₀ é zero, então "x" é zero. e y₀ é -4. Então, estamos no ponto (0, -4). No último problema, vimos o que acontece quando t = 3. Descobrimos que "x" está em 21. Digamos que aqui seja 21. x = 3 é 21. x(3) é 21. y(3) era algo como -3 e alguma coisa. Então, isso nos deixa aqui. Aqui é 21 e descobrimos isso no último problema, acho que é -3,226. E isto é o que acontece quando t = 3. E entre estes dois pontos, quem sabe qual será o caminho? Podíamos plotar, mas pode ser algo assim. Quem sabe como é? Então, qual é a distância total percorrida? Outro jeito de ver isso, qual é o comprimento do caminho? E aqui está a fórmula do comprimento do arco, você pode simplesmente aplicá-la. Não é uma má ideia sabê-la de cabeça no exame. Especialmente, quando se está sem tempo. Mas eu sempre esqueço qual é. Eu tenho quase 35. Gosto sempre de refazer o processo e sempre tem algo satisfatório sobre isso. Porque nos lembramos como as fórmulas funcionam. Como descobrimos uma parte do comprimento daquele arco? Então, deixem-me fazer outra parte. Eu prefiro esta parte. Digamos que, como descobrimos uma parte do comprimento daquele arco? Digamos que você tenha uma parte do comprimento que, eu farei um zoom ali, temos uma pequena variação em "x" sobre aquele comprimento de arco. Chamaremos isto de "dx". E uma pequena variação em y/dy. E sabemos pelo teorema de Pitágoras que se a parte é pequena o suficiente para aproximarmos como hipotenusa, como isto sendo a base, isto é altura e isto é a hipotenusa. Isto será, especialmente se for pequeno o suficiente. Você realmente pode aproximar o arco como sendo a hipotenusa, logo aqui. Sabemos o que é isso pelo teorema de Pitágoras, isto será a √dx² + dy². Assim como diz o teorema de Pitágoras. Agora, como fazemos isto em função de "t"? Sabemos que dx/dt = x'(t). Se tratarmos diferenciais como números, e podemos fazer na maioria das vezes, você sabe que dx = x'(t)/dt. E sabemos dy(t) ou dy /dt. Sabemos que isso é a mesma coisa que a derivada de "y" em relação a "t". y'(t) multiplica os dois lados por "dt". E temos dy = y'(t)/dt. Essencialmente, o que estou fazendo aqui é provando a fórmula do comprimento do arco. Sabemos que isto aqui é um pedaço pequeno do arco, "dL" ou dá para este pequeno pedaço. Na verdade, não precisamos nos preocupar como chamaremos agora, mas esta é a expressão para aquele pedaço bem pequeno do arco. Se reescrevermos estes termos, o que teremos na parte direita, e eu quero fazer isso para ter tudo em relação a "t", será igual a √dx². Bem, dx² é o mesmo que, farei em magenta, x'(t) dt². Então, temos mais dy². dy² é igual a (y'(t) dt)². Este pequeno pedaço do arco aqui, e você poderá fatorar dt². É igual a dt² vezes x'(t)², mais, farei de verde, y'(t)². É claro que você pode tirar o "dt" do radical. √dt² é "dt". Podemos simplificar isto tudo. Então, eu vou fazer de amarelo. Esta parte aqui é x'(t)² e esta parte aqui é y'(t)². Agora, tiramos "dt". Esta é uma forma de derivar o comprimento deste pequeno pedaço do arco. Mas não queremos só um pedaço pequeno, queremos a soma de todos eles. O que queremos é integrar os "dt", é a soma infinita destes pedacinhos infinitesimais, logo aqui. Estes comprimentos infinitesimais de t = 0 a t = 3. E, agora, podemos fazer. Nos dizem quem são x'(t) e y'(t). Deixe-me reescrever. Será a integral de zero até 3 de √x'(t)². Disseram que x'(t) = 4t + 1. Então, 4t + 1² mais y'(t)². A derivada de "y" em relação a "t" é sen t². E precisamos da raiz disto e depois o "dt". E não é um antiderivada fácil de se encontrar. Por sorte, podemos usar nossa calculadora nesta parte do exame AP. Tudo o que temos que fazer agora, já fizemos a parte mais difícil, é usar a função de integral definida. Está no nosso catálogo aqui, pode ir direto para os f' e descer uma parte. Precisamos da integral definida. Vamos colocar na calculadora a raiz quadrada de, vou fazer como "x", porque o botão "x" é mais fácil de fazer do que colocar a variável "t". Então, √x+ 1² + sen x². Em vez de escrever "t", escreverei "x", só para deixar claro. E precisamos do quadrado disso. Vejamos, isto fecha os parênteses, então, eu preciso fechar os parênteses do radical logo aqui. Eu preciso dizer que minha variável de integração é "x". Eu poderia colocar "t", configurar "t" como variável de integração, não tem diferença. Depois, vamos de zero até 3. Agora, vamos deixar a calculadora fazer o seu trabalho. Leva um tempo. Temos 21,091. Então, isto é igual a 21,091. E isto é o comprimento do arco inteiro. Esta é a distância percorrida pela partícula.