Associar graficamente funções e suas derivadas

[RKA20]C Nós temos uma função f(x) neste formato. Nós queremos saber qual dessas funções representa a derivada da função f(x). A derivada de uma função é a inclinação em um determinado ponto. Se você for crescendo de -4 até 4, você vê que, neste ponto, a inclinação desta reta é muito alta, tende ao infinito. Quando você vai andando no eixo x, vê que os pontos vão tendo inclinações positivas... Ainda é positivo... Se você pegar uma equação de primeiro grau, ela tem o coeficiente angular positivo, mas é menor. E ela vai diminuindo cada vez mais, até que chega neste ponto, onde x é igual a zero. Nesse ponto onde x = 0, o que acontece? Ela torna-se zero: o coeficiente angular dela é zero, a inclinação da reta é zero, ou seja, a derivada de f(x) nesse ponto é zero. Depois de passar desse ponto, a inclinação da reta passa a ser diferente. Ela passa a ter outro tipo de inclinação. Deixa eu pegar outra cor aqui, vamos pegar o verde. Você tem este ponto aqui e, agora, a inclinação é negativa, ela é para baixo. Cada vez ela vai inclinando mais para baixo. Portanto, ela vem do +ꚙ, ela cresce absurdamente... Depois, ela cresce de maneira menor até que ela para de crescer. Tem um momento em que ela é paralela ao eixo x, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero, não existe inclinação. Depois, ela começa a ter uma inclinação negativa. Vamos ver, desses gráficos, qual representa a derivada dessa função. Então, vamos verificar, por alguns pontos-chave, este ponto, este ponto e este ponto aqui. Este aqui diz que a inclinação dela é -ꚙ e depois a inclinação dela vai até zero. Ela não é -ꚙ, ela é positiva do lado esquerdo, do lado negativo do x. Portanto, podemos excluir este gráfico. Este gráfico nem passa pelo zero. Nós temos certeza de que, em algum momento, a derivada dessa função é zero, pois ela é paralela ao eixo x, e a inclinação dela é zero. Ela diz que vem de +ꚙ... Tudo bem, realmente pode ser, mas ela diz também que, quando passa para o lado positivo, ela passa para +ꚙ também. Aqui, a inclinação é negativa. Então, vamos cortar esta. Vamos pular esta, porque esta outra parece ser a resposta. Vamos analisar esta aqui. Os pontos-chave são este e este aqui. Este aqui não passa no ponto zero, já poderíamos eliminar por isso. Aqui, ainda por cima, vem de -ꚙ, mas a inclinação dela é +ꚙ e vai ficando menor, mas positivamente, até ficar zero. Então, vamos excluir este gráfico também. Agora, vamos analisar este gráfico. Vamos analisar este ponto, este ponto, este ponto e alguns pontos intermediários também. Este ponto aqui, diz que ele está tendendo ao ꚙ. Ora, está tendendo ao ꚙ positivo, ou seja, a inclinação dele é ꚙ positivo. Está correto! Aqui, está dizendo que a inclinação dele está positiva ainda, esta parte aqui toda é positiva, está no eixo y. Ou seja, a inclinação dela é positiva. Realmente, é. Ela é positiva até x = 0. Então, está correto, essa inclinação é positiva. E está dizendo que cada vez é menor. Tudo bem, cada vez a inclinação vai ficando menor, mas ainda é positiva. Até que chega um ponto em que não existe inclinação nenhuma: é este ponto aqui. A partir desse ponto, em que não existe inclinação nenhuma, a inclinação passa a ser negativa, esta parte aqui toda é do eixo negativo da nossa representação da função derivada de f(x), ou seja, f'(x). E aqui está dizendo que ela é negativa. Realmente, a inclinação é negativa, vai ficando cada vez mais negativa. Nossa resposta é esta!