Derivada como um limite: numérico

RKA1JV - Silva quer encontrar a derivada de f(x) = x² + 1 para "x" igual a 2. A tabela abaixo mostra a taxa de variação de "f" sobre o intervalo de "x" até 2 e de 2 até "x", para valores de "x" que se aproximam de 2. Nós temos a tabela que foi mencionada, e a pergunta é: de acordo com a tabela, a derivada de f(x) para "x" igual a 2, parece valer quanto? Muito bem. Vamos tentar observar aqui e analisar o que a gente tem de informação nesse problema. A gente tem que a taxa de variação média da função nesses intervalinhos. Para valores de "x" aqui em que a gente está se aproximando de 2. Observe que aqui ela colocou os valores de "x", aqui os intervalos que foram considerados e aqui a taxa de variação média que ela usou essa expressão aqui para calcular. A gente pode observar aqui, que quando "x" é igual a 1,9, a gente vai trabalhar dentro do intervalo 1,9 até 2. Se pegar, por exemplo, um valor para frente do 2, o intervalo considerado vai ser, por exemplo, de 2 até 2,1. Quando "x" é igual 1,9, ela já fez a conta aqui, e disse que a taxa média de variação deu 3,9. Mas de onde surgiu esse 3,9? Ela usou essa expressãozinha aqui, ela fez f(x), no nosso caso, "x" é 1,9, então, ela calculou, avaliou a função em 1,9. Menos, avaliou também a função em 2, então viu qual que é a diferença aqui. Vamos chamar isso aqui de variação que ocorreu na função. Só que isso ela está comparando um certo intervalo, então, ela fez "x" menos 2, o "x" que ela escolheu foi 1,9, então ela fez 1,9 menos 2. O que ela fez aqui foi a variação da função nesse intervalinho e de "x" que a gente escolheu, de 1,9 até 2. O que a gente pode observar aqui é que se a gente, se ela foi aumentando os valores aqui, depois ela foi para 1,99, o valor da taxa de variação média também aumentou. De 3,9 para 3,99. Se aumentar um pouco mais aqui, se ela for pra 1,999 aqui o "x", isso aqui já vai aumentar também. Repare o que ela está fazendo aqui. Ela está fazendo esses valores aqui de "x" ficarem cada vez mais próximos de 2. Ela está aumentando, está se aproximando de 2 pela esquerda e aqui ela também fez a mesma coisa. Só que agora ela foi se aproximando de 2 pela direita. Ela foi pegando valores, foi fazendo esses valores que eram maiores que 2 e foi fazendo esses valores ficarem cada vez menores. Cada vez mais próximos aqui de 2. O que aconteceu? Você pode perceber que a gente vai ter valores aqui também que estão diminuindo também. Se aproximando aqui de um certo valor. Quando ela foi diminuindo os valores aqui de "x", chegando cada vez mais perto aqui de 2, agora pela direita, a gente percebe que esses valores aqui na taxa média de variação, na taxa de variação média, também foram diminuindo. E se aproximando cada vez mais de um número. Posso dizer que isso aqui também está se aproximando, essa taxa de variação média, também está se aproximando de um valor. Esse valor aqui que a gente pode observar é 4. Quanto mais próximo de 2 a gente fica, tanto pela esquerda quanto pela direta, mais próximo de 4 a gente fica aqui na taxa média de variação, então, a gente pode escrever o seguinte: Essa expressão aqui, se eu fizer o limite dessa expressão f(x) menos f(2) sobre "x - 2", quando o "x" tende a 2, isso aqui, a gente está vendo pela tabela que isso aqui vai para 4. O limite aqui dessa expressão quando a gente faz o "x" se aproximar por 2, de 2, tanto faz, pela esquerda, pela direita, os limites laterais são iguais. O limite aqui vai valer 4. Mas você já deve ter reconhecido essa expressãozinha aqui. Isso aqui já deve estar chamando a sua atenção. Essa expressãozinha aqui é uma das formas que a gente pode definir a derivada usando o limite. Isso aqui é uma das maneiras de definir a derivada. Isso aqui é a derivada da função "f" aplicada no ponto 2. A pergunta, de acordo com a tabela, a derivada da nossa função f(x) para "x" igual a 2 parece valer quanto? Ela parece valer 4. E a gente terminou.