Derivada do log com base arbitrária

Nós já sabemos que a derivada em relação a x do logaritmo natural de x é igual a 1/x Mas o que dizer quanto a derivada, não do logaritmo natural de x, mas de um logaritmo com uma base diferente? Digamos, que você escreva log na base b de x onde b é uma base qualquer de x onde b é uma base qualquer Como calculamos isto aqui? O truque aqui é re-escrever usando a fórmula para mudar a base ou seja, se nós escrevermos isto aqui em termos de logaritmo Nós sabemos que log... Eu só estou repetindo a mudança da base Eu vou mudar de log base b para log base e que na realidade é o logaritmo natural A fórmula para mudar de base pode ser achado em outro vídeo deste site Fique à vontade para pesquisar no site da Khan Academy A fórmula da mudança de base nos diz que o log de x na base b é igual ao log natural Se nós quisermos usar o log na base e O log natural de x, dividido pelo natural ou melhor, deixe me escrever como log na base e por que assim fica mais claro o que eu estou fazendo Log de x na base e dividido por log de b na base e que é exatamente a mesma coisa que o logaritmo natural de x dividido pelo logaritmo natural de b. Tudo o que temos que fazer é re-escrever esta parte aqui Isto aqui é igual à derivada em relação a x, do log natural de x dividido pelo log natural de b Ou talvez nós possamos até mesmo escrever como 1 dividido pelo log natural de b multiplicado pelo log natural de x Aqui agora tudo fica muito simples Por que o que a gente tem aqui é, 1 dividido pelo log natural de b, que é simplesmente uma constante multiplicada pelo log natural de x ou seja, nós podemos tirar isto de dentro do colchete vejamos, isto é o mesmo que 1 dividido pelo log natural de b multiplicado pela derivada de x do log natural de x. E nós sabemos o que fazer com isto Este parte aqui é igual a 1/x Nós terminamos com 1 dividido pelo log natural de b, multiplicado por 1/x Nós temos aqui 1 dividido pelo log natural de b multiplicado por 1/x, ou 1 dividido pelo log natural de b, que é simplesmente um valor multiplicado por x Agora, se alguém lhe perguntar o que é a derivada com relação a x do logaritmo de x na base 5, você já sabe Vai ser 1 dividido pelo log natural de 5 vezes x. Simples assim! Legendado por [Celeste]