Regra do quociente para derivada de tan x

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós vimos a regra do quociente e vimos que não é algo tão novo assim. Porque, na verdade, é a aplicação da regra do produto. Ou seja, se quisermos calcular a derivada de uma divisão de duas funções. Ou seja, se quisermos calcular a derivada de algo assim, podemos utilizar esta expressão. E aí, eu pensei: onde eu posso aplicar isso? Ou seja, qual derivada vai ser útil para utilizar esta fórmula? E a que veio à mente foi a derivada da tangente de "x". Ou seja, a derivada em relação a "x" de tangente de "x". E você deve estar se perguntando: espera aí, nós vamos aplicar a regra do quociente, então, por que estamos calculando a derivada da tangente de "x"? Simples, porque podemos escrever a derivada em relação a "x" da tangente de "x", como a derivada em relação a "x" de sen x / cos x. Ou seja, reescrevemos a tangente de "x" como sen x / cos x. Agora, sim, nós temos uma função dividida pela outra. Com isso, podemos aplicar esta regra do quociente. Então, isto vai ser igual à derivada do sen x vezes cos x. E qual é a derivada do sen x? É cos x. Então, cos x vezes cos x, menos a função que está no numerador, que, neste caso, é o sen x. Então, menos o sen x vezes a derivada da função que está no denominador. Ou seja, a derivada do cos x, que é -sen x, mas como eu tenho um menos aqui, eu já vou colocar um mais e um sen x aqui. E dividimos tudo isso pela função que está no denominador ao quadrado. Então, cos x². E será que conseguimos simplificar isto aqui? Bem, cos x vezes cos x é a mesma coisa que o cos² x. E sen x vezes sen x é igual a sen² x. E sabemos que cos² x + sen² x é igual a 1. Porque é a relação fundamental da trigonometria. Portanto, todo este numerador vai ser igual a 1. E aí, nós vamos ficar com 1 / cos² x. Ou seja, estas são as duas formas de escrever cos² x. Isto é a mesma coisa que (1/cos x)². E 1/cos x é a secante. Portanto, aqui eu posso escrever que isso é igual a (sec x)², ou escrever como a secante ao quadrado de "x". Ou seja, utilizamos a regra do quociente para provar que a derivada da tangente de "x" é igual à secante ao quadrado de "x". Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!