Expressão do limite da derivada de cos(x) em um ponto de mínimo

RKA4JL - Se g(x) é igual cosseno de x e este aqui é o gráfico dessa função, qual o valor de limite quando h tende a zero de (g(π mais h) menos g(π)) sobre h? No enunciado eles falam no ponto g(π). Vamos ver onde ele está no gráfico. Então aqui x é igual a π e aqui, então, seria o ponto (π ; g(π)). Também é falado do ponto g(π mais h). Vamos supor que aqui x seja igual a (π mais h), então esse aqui vai ser o ponto ((π mais h) ; g(π mais h)). Nesta expressão, eles basicamente estão tentando achar a inclinação entre esses dois pontos, que seria a mudança no eixo y sobre a mudança no eixo x. Então qual é a variação no eixo y? Ela vai ser g(π mais h) menos g(π) sobre a mudança no eixo horizontal, que vai ser (π mais h menos π). Isso é igual a (g(π mais h) menos g(π)) sobre h. Essa é exatamente a expressão do enunciado. Agora vamos pensar no que acontece quando h se aproxima de zero. No gráfico isso significa que esse ponto vai cada vez mais para a esquerda. Conforme h se aproxima de zero, (π mais h) se aproxima de π. Então o ponto ((π mais h) ; g(π mais h)) vai se aproximar cada vez mais do ponto (π ; g(π)) e a inclinação entre esses pontos vai se aproximar da tangente do ponto em que x é igual a π, que é basicamente uma linha horizontal. Então esse limite que perguntam no enunciado será igual a zero. Tem outros caminhos para se chegar ao resultado. A gente ainda não tem as ferramentas para fazer isso algebricamente, então a outra opção é usar uma calculadora. A gente pode pegar valores pequenos para h e fazer o teste. Então a gente tem a expressão (cos (π mais h) menos cos π) sobre h. Vamos tentar fazer isso com h igual a 0,1. Então (cos (π mais 0,1) menos cos π) sobre h, que é 0,1. Isso dá 0,049. Vamos tentar, agora, com um h bem menor, dessa vez vamos tentar 0,0001. Então (cos (π mais 0,0001) menos cos π) sobre 0,0001. O resultado agora foi 0,000049. Dá para perceber que a gente vai ter números cada vez menores. Essa expressão vai se aproximando do zero.