Problemas com equação reduzida da reta

RKA - Nesse vídeo, vamos dar vários exemplos de como descobrir as equações de retas na forma de equação reduzida da reta (para revisar). Isso significa que são equações de retas na forma de "y = mx + b", onde "m" é o coeficiente angular e "b" é a interceptação de "y". Vamos resolver alguns desses problemas. Aqui, eles dizem que uma reta tem um coeficiente angular de -5, então "m = -5"; e ela tem uma interceptação de "y" de 6, "b = 6". Portanto, é bem simples. A equação dessa reta é "y = -5x + 6". É, até que foi fácil. Vamos fazer o próximo aqui. A reta tem um coeficiente angular de -1 e contém o ponto (4/5; 0). Então, eles estão nos dizendo que o coeficiente angular é -1 (sabemos que "m = -1"), mas não têm 100% de certeza sobre onde está a interceptação da reta com o eixo "y". A gente sabe que essa equação vai ser na forma "y" é igual ao coeficiente angular (-1) "x" mais "b", onde "b" é a interceptação de "y". Agora, a gente pode usar essas informações de coordenadas, o fato de que ela contém este ponto... dá para usar essa informação para descobrir o "b". O fato de que a reta contém esse ponto significa que o valor de "x" é igual a 4/5, e "y" é igual a zero, o que deve satisfazer essa equação. Vamos substituir pelos números. "y = 0" quando "x = 4/5": "0 = -1‧(4/5) + b" (vou abaixar um pouquinho). A gente tem que "0 = (-4/5) + b". Dá para adicionar 4/5 aos dois lados da equação, então vamos adicionar 4/5 aqui e também pode adicionar 4/5 aqui. O motivo pelo qual fiz isso é para cancelar os dois fatores; tem que "b = 4/5". Pronto, agora tem a equação da reta. "y" é igual a -1 vezes "x" (que escrevemos como "-x") mais "b", que é 4/5. Agora, temos essa aqui. A reta contém o ponto (2, 6) e (5, 0). Eles não informam o coeficiente angular ou a interceptação de "y" de forma clara, no entanto, a gente pode descobrir os dois com base nessas coordenadas. A primeira coisa que podemos fazer é descobrir o coeficiente angular. Sabemos que o coeficiente angular "m" é igual à diferença em "y" sobre a diferença em "x", que é igual a... qual é a diferença em "y"? Vamos começar com essa aqui. Fazemos "6 - 0". Vou fazer desse modo: é 6... (vou codificar em cores)... menos zero. Assim, "6 - 0" é a nossa diferença em "y". Nossa diferença em "x" é "2 - 5". O motivo pelo qual codifiquei com cores é porque queria mostrar para você quando usei esse termo "y" primeiro, usei este 6, e tenho que usar esse termo "x" primeiro também, queria mostrar que esta é a coordenada (2, 6), e essa é a coordenada (5, 0). Não poderia trocar o 2 e 5 lá, senão teria obtido o oposto da resposta. Mas o que obtivemos aqui? Isso é igual a... "6 - 0" é 6, "2 - 5" é -3... isso se torna -6/3, que é a mesma coisa que -2. Portanto, esse é nosso coeficiente angular, até agora sabemos que a reta deve ser "y" é igual ao coeficiente angular... (vou fazer em laranja)... -2 vezes "x" mais nossa interceptação de "y". Agora, dá para fazer exatamente a mesma coisa que fizemos no último problema; a gente pode usar um desses pontos para resolver "b". Podemos usar qualquer um dos dois; os dois estão na reta, então, os dois devem satisfazer a equação. Vou usar (5, 0) porque é sempre bom quando tem um zero aqui (a matemática é um pouco mais fácil). Vamos colocar o (5, 0) aqui. "y" é igual a zero quando "x" for igual a 5. Então, "y" é igual a zero quando tem "-2‧(5)"... quando "5x = 5 + b". Tem, então, que "0 = -10 + b". Se adicionar 10 aos dois lados, esses dois se cancelam, obtemos que "b" é igual a "10 + 0" ou 10. Então, tem que "b = 10". Agora, sabemos a equação para a reta. A equação é "y"... (vou usar outra cor)... "y" é igual a "-2x" mais b (mais 10). Terminamos. Vamos fazer mais um. Muito bem. A reta contém os pontos (3, 5) e (-3, 0). Como no último problema, começamos descobrindo o coeficiente angular, que chamaremos de "m". É a mesma coisa que a elevação sobre distância, que é a mesma coisa que a diferença em "y" sobre a diferença em "x". Se estivesse fazendo como lição de casa, não teria que escrever tudo isso; só quero ter certeza de que entenda que todas elas são a mesma coisa. Qual é a nossa diferença em "y" sobre nossa diferença em "x"? Ela é igual a...? Vamos começar desse lado, apenas para mostrar que dá para pegar qualquer um desses pontos. Digamos que é "0 - 5" (desse jeito). Assim, eu estou usando essa coordenada primeiro. Estou considerando que ela é o ponto final. Lembre-se que da primeira vez que aprendemos isso a gente tendia a colocar o "x" no numerador. Não! Usamos os "y" no numerador. Essa é a segunda das coordenadas. Ela será sobre "-3 - 3". Essa é a coordenada (-3, 0); essa é a coordenada (3, 5). Vamos subtrair. E o que vamos obter? Isso será igual a... (vou escrever com uma cor neutra)... igual ao numerador. É -5 sobre... "-3 - 3" é -6... os sinais negativos se cancelam, e obtemos 5/6. Assim, a gente sabe que a equação será na forma de "y = 5/6(x) + b". Agora, dá para substituir uma dessas coordenadas para calcular o valor de "b". Vamos lá. Sempre gosto de usar aquela que contém zero; "y" é zero quando "x" for -3... mais "b"... tudo o que eu fiz foi substituir -3 por "x", zero por "y". Sei que posso fazer porque isso está na reta, isso deve satisfazer a equação da reta. Vamos fazer para o "b". Assim tem que zero é igual a... bom, se a gente dividir -3 por 3, obtemos -1. Se dividir 6 por 3, obtemos 2. Ele se torna -5... -5/2 (sobre 2) mais "b". A gente poderia adicionar 5/2 aos dois lados da equação (mais 5/2; mais 5/2). Gostaria de variar a notação para que se familiarizem com as duas. Então, a equação fica 5/2 é igual a... isso é um zero... é igual a "b"... "b" é 5/2. A equação da nossa reta é: "y" é igual a "5/6(x)" mais b (que já vimos que é 5/2)... mais 5/2. Terminamos. Vamos fazer outro. Tem um gráfico aqui. Vamos descobrir a equação deste gráfico. Na verdade, de alguma forma, esse é um pouco mais fácil. Qual é o coeficiente angular? O coeficiente angular é a diferença em "y" sobre a diferença em "x". Quando movemos em "x", quando a nossa diferença em "x" é 1 (então, essa é a nossa diferença em "x", assim, a diferença em "x" é 1; apenas estou decidindo modificar meu "x" por 1, incrementar por 1), qual é a diferença em "y"? Parece que a diferença em "y" é exatamente 4. Parece que meu "Δy" (minha diferença em "y") é igual a 4 quando o meu "Δx" for igual a 1; então, a diferença em "y" sobre a diferença em "x"... a diferença em "y" é 4 quando a diferença em "x" for 1, o coeficiente angular é igual a 4. Qual é minha interceptação de "y"? Precisamos apenas olhar para o gráfico. Parece que a interceptação do eixo "y", em "y", é igual a -6, ou no ponto (0, -6). Assim, a gente sabe que "b = -6". Portanto, sabemos a equação da reta; a equação da reta é "y" é igual ao coeficiente angular vezes "x" mais a interceptação de "y". É melhor anotar isso. Então, -6... é mais -6... de forma que essa é a equação da nossa reta. Mais um? Vamos lá. Eles nos dizem que o f(1,5) é -3, e o f(-1) é 2. O que é isso? Isso é apenas um jeito sofisticado de dizer para vocês que o ponto onde "x" é "1,5" (quando substitui "1,5" na função), a função tem valor numérico -3. Então, isso nos diz que a coordenada "x" é igual a "1,5", e "y" é igual a -3. E isso nos diz que, o ponto, quando "x" é -1, o f(x) é igual a 2. Essa é apenas uma maneira sofisticada de dizer que esses dois pontos estão na reta (nada incomum). Eu acho que a intenção desse problema é familiarizar com a notação de função, para que não fique intimidado quando encontrar esse tipo de coisa. Se avaliar a função em "1,5", vai ter -3; essa é a coordenada se imaginar que "y = f(x)". Assim, essa seria a coordenada "y", ela seria igual a -3 quando "x" é "1,5", de qualquer modo, já disse várias vezes. Vamos descobrir o coeficiente angular dessa reta, que é a diferença em "y" sobre a diferença em "x", que é igual a... vamos começar com 2 menos esse aqui, -3 (eles são os valores de "y"); todos eles sobre -1 menos esse aqui... vou escrever desse modo... -1 menos esse carinha aqui... menos "1,5". Vou fazer colorido porque eu quero mostrar que os dois (o -1 e o 2) estão vindo daqui, por isso uso os dois primeiro. Se eu usasse esses primeiro, teria que usar o "x" e o "y" primeiro. Se eu usar o 2 primeiro, tenho que usar o -1 primeiro; por isso é que eu estou codificando em cores. Isso vai ser igual "2 - (-3)" (isso é a mesma coisa que "2 + 3"), isso é 5. "-1 - 1,5" é "-2,5". 5 dividido por "-2,5" é igual a -2. O coeficiente angular dessa reta é -2. Na verdade, vou fazer um desvio para mostrar que, não importa a ordem que eu faça, se eu usar essa coordenada primeiro, preciso usar aquela coordenada primeiro. Vamos fazer do outro jeito. Se eu fizesse como "-3 - 2" sobre "1,5 - (-1)", isso seria menos o 2 sobre "1,5" menos o -1. Isso me dará a mesma resposta. Isso é igual a quê? "-3 - 2" é -5, sobre "1,5 - (-1)" ( isso é "1,5 + 1")... isto sobre "2,5". Mais uma vez, é igual a -2. Portanto, só queria mostrar que não importa qual deles escolhem como ponto inicial ou final desde que sejam consistentes. Se esse for o "y" inicial, esse será o "x" inicial; se esse for o "y" final, esse será o "x" final. Sabemos que o coeficiente angular é -2. Assim, a gente sabe que a equação é "y = -2x + alguma interceptação de y". Vamos usar uma dessas coordenadas. Vou usar essa aqui, já que ela não tem nenhum decimal. Sabemos que "y" é igual a 2. "y" é igual a 2 quando "x" for igual a -1, Ainda tem nosso mais "b"; então, 2 é igual a... "-2‧(-1)" é 2... mais "b". Se subtrair 2 dos dois lados da equação (menos 2, menos 2), estaremos subtraindo 2 dos dois lados da equação, obteremos que o zero no lado esquerdo é igual a "b". "b" é zero. A equação da nossa reta é: "y = -2x". Na verdade, se quisesse escrever na notação de função, ela seria "f(x) = -2x". Só presumi que "y = f(x)", mas esta é a equação. Eles nunca mencionaram "y" aqui, de forma que poderíamos apenas escrever que f(x) é igual ao "2x" aqui. Cada uma dessas coordenadas é a coordenada de "x" e f(x). Assim, dá até para considerar a definição do coeficiente angular como a diferença em f(x) sobre a diferença em "x". Essas são formas equivalentes de visualizar a mesma coisa.