Derivação de funções vetoriais

RKA3JV - No último vídeo, tivemos um ótimo entendimento de como uma função vetorial funciona. Ou melhor, como a posição de uma função vetorial que é de certo modo uma substituição para a parametrização tradicional que descreve a cor. E o que eu quero mostrar, neste vídeo, é o que significa tomar a derivada de uma função vetorial. Neste caso, será com relação ao nosso parâmetro "t". Eu vou fazer um novo desenho aqui. Vamos dizer que eu tenho a função vetorial r(t), e isso não é diferente do que eu fiz no último vídeo. x(t) vezes o vetor unitário "i", mais y(t) vezes o vetor unitário "j". Se fizermos isso em três dimensões, nós adicionamos um z(t) vezes "k". Mas vamos deixar as coisas mais simples e dizer que isso descreve uma curva, e diremos ainda que, nessa curva que estamos lidando, "t" está entre "A" e "B". E a curva irá parecer com isso. Eu vou desenhá-la, vou apenas fazer aqui uma curva qualquer. Esta curva parece com algo deste tipo. Isto é quando t = a, e vai indo nesta direção. Bem aqui, isto é quando t = a. Isto aqui é onde seria x(a) e este seria y(a). Do mesmo modo, este seria x(b) e aqui temos y(b). Vimos nos últimos vídeos, que as extremidades destes vetores estão decrescendo esta curva. Então, r(a), como vimos no último vídeo, descreve este ponto aqui. Eu não quero revisar tudo, mas o que eu quero é pensar sobre qual a diferença entre estes dois pontos. Bom, vamos dizer que nós pegamos alguns pontos aleatórios aqui. Digamos que temos um ponto "t" aqui, que chamaremos de r(t). Na verdade, eu vou fazer um ponto diferente, apenas para deixar isso mais claro. Eu vou mudar a cor. Vamos dizer que esta direção é o "r" de algum "t", algum "t" em particular, bem aqui. Este é o r(t), ele será, você sabe, a soma de algo. Isso é o que sabemos sobre este "t". Digamos que queremos calcular um acréscimo a "t" com "h". Dizemos, então, r(t) + h. Bom, se nós virmos o parâmetro "t" com o tempo, podemos notar que ele se moveu à frente. Então, a nossa partícula se moveu um pouco. E vamos dizer que estamos aqui, isso em amarelo é r(t) + h. Apenas um valor um pouco maior para "h". Uma questão que devemos ter em mente é quão rápido "f" está mudando em relação a "t". A primeira coisa que queremos dizer poderia ser: qual é a diferença entre estes dois? Se eu tomar "r", pois quero visualizá-lo, eu quero tomar "r", o vetor posição que estamos avaliando como r(t) + h. E, a partir daí, subtrair r(t). O que obtemos? Você poderia querer revisar um pouco mais de álgebra vetorial, mas nós essencialmente apenas vamos pegar este vetor. Deixe-me fazer isso de uma cor vibrante. Nós vamos pegar este vetor bem aqui. Eu farei isso de cor magenta. Este vetor magenta bem aqui é o vetor r(t + h) - r(t). Isso faz sentido, porque quando você adiciona vetores, você liga o início de um com o fim do outro. Você pode escrever isso de forma alternativa como r(t) mais este termo bem aqui, mais r(t + h) - r(t). Quando você adiciona dois vetores, você estará adicionando este vetor a este vetor aqui. Você coloca o início do segundo vetor para o fim do primeiro. Então, este é o primeiro vetor e eu coloco no fim do segundo, aqui. E a soma destes dois, como dizemos, será igual a esse último, será igual a r(t + h). Nós vemos que neste caso e algebricamente, você verá que esta parte e esta outra parte irão se cancelar. Eu espero que isso satisfaça você. Eu quero ser claro, este pedaço não é um vetor posição, não estamos dizendo que se pegarmos o início deste cara e o colocarmos na origem, descreveríamos uma posição única. Este pedaço, na verdade, é apenas um tipo de vetor puro, ele está descrevendo apenas a mudança entre a posição de dois outros vetores. Então, este cara está bem aqui. Mas este vetor, literalmente, descreve a mudança. Mas digamos que nos importamos. Dessa forma, como vamos olhar algebricamente se nós expandirmos desta forma? Será a mesma coisa que "x" de, deixe-me fazer isto aqui, isto é a mesma coisa que x(t + h) vezes o valor unitário "i", mais y(t + h) vezes o vetor unitário "j", que é justamente este pedaço. Esta parte, aqui, é a parte menos esta parte. Então, menos. Eu vou fazer a segunda linha. Eu posso ter feito isso, mas estou sem espaço. -x(t) aplicando a distributiva com o sinal de menos, teremos -y(t) vezes "j". Eu vou escrever isso, será menos. Escrevendo deste jeito, mais isto. Você pode ver que isso é justamente esta parte aqui, eu estou apenas desenvolvendo em "t". Você tem x(t) e y(t), mais tarde você poderá distribuir, certo? Se você distribuir este sinal de menos, você terá um -x(t) e um -x(y(t)). Na adição de vetores, você pode precisar de uma revisão nisso, caso não veja isso por um tempo. Você sabe que pode apenas adicionar os termos correspondentes. Você pode adicionar os componentes "x" e adicionar os componentes "y". Isso será igual a "a". Deixe-me reescrever isso aqui, porque eu acho que vou precisar de mais espaço mais tarde. Eu tenho r(t + h) - r(t) = a Eu vou apenas juntar os grupos de componentes "x" e "y". Isso é igual às componentes "x" juntas. Mas isso é negativo, então nós vamos subtrair esta parte desta outra parte. Então, x(t + h) - x(t), tudo isso vez o nosso vetor unitário na direção "x". E toda esta parte aqui mais y(t + h) - y(t), vezes o vetor unitário na direção "j". Eu estou apenas rearranjando os termos, e irei dizer o que é a diferença entre dois "r" quaisquer de uma distância dada. Nossa mudança de distância aqui é "h" entre quaisquer dois vetores de posição. Agora, o que eu propus no início do vídeo, eu disse que queria entender a mudança. E nós vamos pensar sobre a mudança instantânea em relação a "t". Eu pergunto o quão rápido ocorre essa mudança em um período "h". Se escrevêssemos Δt em vez de "h", estaríamos dizendo que esta mesma coisa, eu quero dividir isso por "h". O que eu quero dizer é que meus vetores mudaram dessa forma. Mas eu quero ver isso em um período de "h". Isso é análogo à quando nós calculamos a inclinação, dizemos que como muda no caminho sobre Δy, ou mudamos em "y", ou mudamos em "x". Esta parte da mudança na nossa função é cada mudança em "x". Apenas dividiremos tudo. Aqui a nossa mudança em "t" é "h", certo? A diferença entre (t + h) e "t" será apenas "h". E vamos dividir tudo por "h". Quando você multiplica um vetor por um escalar ou divide por algum escalar, você está apenas pegando cada um dos componentes e multiplicando ou dividindo por este escalar. E nós vamos pegar isso aqui. Então, isso para qualquer diferença finita bem aqui, "h", nos diz quanto o nosso vetor muda por cada mudança em "h". Mas se nós queremos encontrar a mudança instantânea, do modo como aprendemos em cálculo diferencial, precisamos dizer que esta parte é análoga à inclinação. Isso é bom, poderemos trabalhar bem com isso se a parte em questão parecer com algo assim, se ele tiver um caminho linear. Se o nosso caminho parece com algo deste tipo, nós podemos calcular isso. Essencialmente, teremos a variação média em nossa posição. Você pode imaginar dois vetores, onde um deles, na verdade, serão dois paralelos. Os vetores posição não têm que ser paralelos, eles podem ser assim. Deste modo, isso apenas descreve uma mudança entre estes dois por "h". Ou o quão rápido estes dois vetores mudam em cada acréscimo do nosso parâmetro, certo? Em "h" você pode considerar como parte de Δt, que algumas vezes achamos "h" mais simples, outras achamos Δt. Mas, de qualquer modo, eu estou preocupado com o instantâneo. Estamos lidando com curvas, com cálculo. Estaria tudo bem se estivéssemos em um mundo linear algébrico. Então, o que nós faremos? Talvez, nós poderíamos tomar o limite de "h" tendendo a zero. Então, vamos pegar o limite. Deixe-me fazer isso com uma cor vibrante. Vamos pegar o limite de "h" tendendo a zero dos dois lados disso aqui. Eu também estou tomando um limite de "h" tendendo a zero, e aqui também. Eu só quero dizer, bem, isso acontece quando eu mudo. Para cada mudança do meu parâmetro "t". Mas qual seria a mudança instantânea? Qual é a diferença que se torna cada vez menor? Isto é exatamente o que nós aprendemos sobre inclinação instantânea ou velocidade instantânea, ou inclinação de reta tangente. Essas coisas parecem um pouco indefinidas para mim agora. Nós não definimos limites para funções vetoriais, nem mesmo definimos a derivada de uma função vetorial. Mas, para a nossa sorte, todo esse raciocínio parece muito familiar. E esta é a nossa definição de derivada, e estas são funções escalares bem aqui. Elas estão multiplicadas por vetores para obtermos funções vetoriais. Mas isso aqui, pela definição, é a derivada. Ela é x'(t) ou ainda "dx" ou ainda dx/dt. Isto aqui é y'(t) ou podemos escrever dy/dt. Dessa forma, podemos definir, nós podemos dizer que com tudo isso eu quero passar para você uma visão mais intuitiva do que qualquer outra coisa. Nós podemos dizer que a derivada, chamamos esta expressão aqui de derivada da minha função vetorial "r" em relação a "t" ou nós podemos chamar de dr/dt. Repare que mantém o sinal do vetor aqui, isto é derivado e tudo passa a ser igual a, r'(t) será igual a "a". Bem, esta é a derivada de "x" em relação a "t", é igual a "a", x'(t) vezes o vetor unitário de 'x", o vetor unitário horizontal. Mais y'(t) vezes o vetor unitário de "y", vezes "j". O vetor unitário na direção horizontal. Este é um resultado bonito e simples, mas pode ser difícil de se visualizar o que representa. Se pensarmos sobre o que acontece, deixe-me desenhar um grande gráfico, apenas para termos a visualização facilitada. Digamos que a minha curva se pareça com algo deste tipo. Esta é a minha curva, vamos dizer que isso é, nós queremos descobrir a mudança instantânea neste ponto aqui. Este é r(t) e se nós tomarmos r(t + h), poderemos ter algo como isso aqui. Logo, este r(t + h), agora, a diferença entre estes dois, quão rápida é a mudança deste vetor para este em relação a "t". E isso é difícil de se visualizar aqui. Eu farei alguns vídeos para pensarmos sobre a magnitude disso. Isso pode ser algum vetor. Bem, a diferença entre estes dois é justamente essa. Mas quando nós dividimos isso por "h", isso será um vetor maior, certo? Isso se nós assumimos que "h" é um número pequeno Vamos dizer que "h" é menor que 1. Nós iremos tomar um vetor maior, certo? Mas é um tipo de média que muda ao longo do tempo. Mas com "h" cada vez menor e menor, este r'(t) está indo, a direção está tornando tangente à curva. Eu acho que você pode visualizar, certo? Quando estes dois vetores se aproximam cada vez mais, os d(r) se tornam menores. Então, a mudança d(r), diferença entre estes dois, os Δr se tornam menores e menores. E você pode imaginar, se "h" for menor, ele estava bem aqui. Logo, a diferença entre esses dois vetores está ficando menor e ficando cada vez mais tangente à curva. No entanto, nós ainda estamos dividindo por um "h" pequeno. De modo que a derivada como limite de "h" se aproximando de zero, poderia ser um número grande. Na verdade, a magnitude deste vetor é bem difícil de se visualizar. Isso irá depender da parametrização da curva e não depende da forma da curva. A direção deste vetor depende da forma da curva, e a direção será tangente à curva. Ou você pode imaginar que este vetor é a linha que tange a curva. A magnitude é um pouco mais difícil de se entender. Eu vou tentar dar a você um pouco de intuição no próximo vídeo. Mas isso é o que eu quero que você entenda agora, porque nós iremos usar isso no futuro quando virmos a integral de linhas sobre funções vetoriais.