Cálculo de pontos críticos

RKA2G - Vamos dizer que temos uma função f(x), definida por xe elevado a -2x². Vamos agora tentar encontrar pontos críticos desta função. Sugiro que você pause o vídeo e tente encontrá-los. Agora que você já deve ter tentado, vamos relembrar o que são esses pontos críticos. "c" é um ponto crítico para a função "f" se, e somente se, f'(c) = 0 ou f'(c) é indefinida. Então, para achar os pontos críticos de "f", vamos verificar, nesta expressão, quais são os valores que fazem com que a sua derivada seja zero ou um valor indefinido. Para começar, vamos obter f'(x), que é a derivada da função "f". Para obter f'(x), a derivada de "f", Vamos ter que usar uma combinação da regra do produto e da regra da cadeia. Lembrando da regra do produto, vamos precisar da derivada de "x" em relação a "x", vezes "e" elevado a -2x², que é a segunda função, que seria sem derivar, mais a derivada, em relação a "x", de "e" elevado a -2x², vezes "x", que é a primeira função sem derivar. Vamos simplificar aqui: a derivada de "x" em relação a "x" é 1, vezes "e" elevado a -2x², mais... Agora, olhando para a segunda parcela, a derivada de "e" elevado a -2x² em relação a "x", esta parte que eu estou destacando aqui, para ser obtida, vamos precisar da regra da cadeia. E a derivada de "e" elevado a -2x² em relação a -2x² é a própria expressão, "e" elevado a -2x². E agora temos de multiplicá-la pela derivada de -2x² em relação a "x", que é -4x. Isso, ainda multiplicado pelo "x" que já tínhamos ali na expressão. Vamos simplificar um pouco isto aqui. Podemos verificar que os dois termos têm um fator "e" elevado a -2x² e vamos tentar descobrir se isso pode ser zero ou um valor indefinido. Vamos fatorar esta expressão colocando em evidência "e" elevado a -2x². Vamos ter: "e" elevado a -2x², vezes... Deste primeiro termo, temos 1 e, do segundo termo, -4x². Esta expressão é a derivada de "f", ou seja, é f'(x). Agora precisamos tentar localizar valores de "x" em que f'(x) dê zero ou, então, um valor indefinido. Vejamos, que neste fator "e" elevado a -2x², este cálculo é definido para qualquer número real. E também é impossível que "e" elevado a -2x² resulte em zero para qualquer valor real de "x". Mas nós podemos observar que, nesta expressão que define a derivada de f(x), temos o outro fator 1 - 4x², entre os parênteses. Se "e" elevado a -2x² nunca vai ser zero, precisamos verificar quando 1 - 4x² vai ser zero e pode ser que encontremos algum ponto crítico. Vamos, então, analisar quando é que 1 - 4x² pode ser igual a zero. Vamos escrever aqui: 1 - 4x² = 0. Quando é que isso acontece? Quando é que esta expressão fica igualada a zero? Esta é uma equação relativamente simples de ser resolvida. Temos aqui que 1 = 4x². Agora vamos dividir os dois lados por 4 e vamos ter 1/4 = x². E agora vamos obter a raiz quadrada de 1/4, ou seja, "x" pode ser mais ou menos 1/2. Lembre-se de que (1/2)² resulta em 1/4, porém, também -(1/2)² resulta em 1/4. Ou seja, f'(1/2), ou a derivada quando "x" vale 1/2, é igual a zero e também f'(-1/2) é igual a zero. Então, para esta função, os pontos críticos são valores em que "x" vale 1/2 ou -1/2, também chamados números críticos. Até o próximo vídeo!