Esboço de curva com cálculo: logaritmo

RKA7MP - Neste vídeo, vamos tentar esboçar o gráfico de uma função sem o uso de calculadora gráfica. Vamos supor que a função seja logaritmo natural de x⁴ mais 27. A primeira coisa que devemos fazer é pegar a derivada e igualar a zero, pois aí sabemos os pontos de máximo ou de mínimo. Então, nós temos que derivar primeiro aqui dentro, vamos ter 4x³ vezes 1 sobre x⁴ mais 27. Ou podemos escrever que a derivada é 4x³ vezes (x⁴ + 27)⁻¹. Este número que está no denominador o mínimo que ele pode assumir é 27, ou seja, é um número positivo. Esta multiplicação só vai dar zero quando "x" for zero. Então, para igualar isto a zero, nós temos que "f" linha de zero é igual a zero. Portanto, o ponto de máximo ou de mínimo vai ser quando for f(0). f(0) vai ser quanto? Vamos pegar aqui na calculadora. 0⁴ é zero, mais 27, vai ser o logaritmo natural de 27, ou seja, 3,29. Temos f(0) igual a 3,29, então, este ponto (0, 3,29) é um ponto de máximo ou de mínimo. Para saber os pontos de inflexão, temos que tirar a segunda derivada. Portanto, a segunda derivada, f"(x) vamos derivar esta função. Aqui nós temos uma multiplicação, então, vai ser a derivada do primeiro, 12x², vezes o segundo, (x⁴ + 27)⁻¹, mais o primeiro, 4x³, vezes a derivada do segundo. A derivada do segundo vai ser 4x³ vezes (-1), vezes (x⁴ + 27)⁻² Podemos colocar de outra forma como 12x² sobre x⁴ mais 27, aqui, mais com menos dá menos, menos 16x⁶, sobre x⁴ mais 27². Vamos ter, então, f" como sendo, aqui podemos botar no mesmo denominador, f"(x) fica sendo igual a (x⁴+27)², 12x² vezes (x⁴+27), menos 16x⁶. Vamos abrir este parênteses, nós temos f"(x) igual a 12x⁶ mais 12x² vezes 27, menos 16x⁶. Isto tudo sobre x⁴ mais 27². Vamos ver se a gente simplifica mais um pouco. Temos f"(x) igual a 27 vezes 12x² menos 4x⁶, sobre x⁴ mais 27². Vamos colocar em evidência 4x². Então, temos f"(x) igual a 4x², temos 27 vezes 3, menos x⁴, isto tudo sobre (x⁴ + 27)². Agora, sim, vamos analisar os sinais. Primeiro, embaixo sempre vai ser um número positivo, pois o menor número que x⁴ pode assumir é zero, ou se ele for negativo, a quarta vai ser um número positivo, e ainda mais ao quadrado, então, aqui sempre vai ser um número positivo. Nós queremos igualar f"(x) a zero, aí podemos saber os pontos de inflexão. Sabemos o ponto de inflexão se antes deste ponto ele muda de sinal ou não, ou seja, ele muda de concavidade ou não. A concavidade é para cima se f" for maior do que zero. E a concavidade é para baixo se f" for menor do que zero. Vamos ver quando é que isto é igual a zero. Nós temos 4x² igual a zero, ou seja, "x" igual a zero, e temos 23 vezes 7 dá 81, então, 81 menos x⁴ igual a zero, x⁴ igual a 81. Nós temos x² igual a 9, "x" igual a mais ou menos 3. Os pontos candidatos à inflexão são o zero, o +3 e o -3. Vamos analisar um por um. Primeiro, vamos pegar um número um pouco menor do que zero e ver o que acontece com o sinal de f"(x), se é maior ou menor do que zero. Pegando um pouco menor do que zero, nós temos aqui embaixo um número positivo, aqui em cima nós temos um número positivo, um número próximo de zero não vai fazer diferença, e nós temos aqui um número positivo porque está elevado ao quadrado. Então, f(0) vai ser maior do que zero. Quando "x" for um pouco maior do que zero, o que acontece? Pegar zero vírgula qualquer coisa, aqui vai ser muito próximo de zero, vai dar um número positivo, este número também é positivo, o denominador positivo, portanto, portanto f"(x) vai ser maior do que zero. Portanto, este ponto é um ponto crítico, é um ponto que poderia ser um ponto de inflexão, mas não é pois f" não muda de sinal, não muda a concavidade, a concavidade aqui é para cima e a concavidade continua sendo para cima. Vamos analisar agora no ponto mais ou menos 3, o "x" um pouco maior do que 3. O que acontece com f"(x)? Um pouco maior do que 3, o denominador vai ser positivo, porque aqui está x⁴. Um pouco maior do que 3, aqui nós temos x⁴, 3⁴ é 81. 27 vezes 3 dá 81, portanto, esse cara é um pouco maior do que 81 em valor absoluto, como temos um menos aqui, vai dar um número negativo e aqui vai ser um número positivo. Portanto, aqui em cima vai dar um número negativo, então, quando ele for maior do que 3, a concavidade vai ser para baixo. E quando o "x" for um pouco menor do que 3, o que acontece com f"(x)? f"(x), quando for um pouco menor do que 3, 2 vírgula qualquer coisa, este x⁴ vai ser um pouco menor do que 81. Quando você tem 81 menos um número menor que 81, obviamente, isto vai ser positivo, e vezes um número positivo significa que ele vai ser positivo, então, a concavidade é para cima. Significa que antes de 3, a concavidade é para cima, e depois de 3, a concavidade é para baixo. Portanto, aqui é um ponto de inflexão. Vamos analisar, agora, para "x" menor do que -3, e para "x" maior do que -3. O que acontece quando "x" for menor do que -3? Quando "x" for menor do que -3, -3,1, -3 vírgula qualquer coisa, este número, como está à quarta, vai dar um número positivo. Tem um negativo na frente, portanto, vai dar um número maior do que 81 com negativo na frente, este número vai ser negativo, isto elevado ao quadrado vai ser positivo, aqui embaixo sempre vai ser positivo, portanto, vai ser negativo. Então, f", quando "x" for menor do que -3, vai ser um número negativo. Portanto, a concavidade é para baixo. E quando "x" for maior do que -3, ou seja, -2,9, -2,8 Este número vai ser menor do que 81. Como temos o menos na frente, vamos ter 81 menos um número é menor do que 81. Então, aqui vai dar um número positivo. E aqui, como está ao quadrado, vai dar positivo, no denominador todo vai ser positivo, portanto, f" vai ser positivo. A concavidade vai ser para cima. Então, este aqui é um ponto de inflexão. Este ponto não é de inflexão, como ele não é um ponto de inflexão, e a concavidade é para cima, este ponto vai ser um ponto de mínimo. E, neste caso, já podemos plotar a função. Vamos colocar aqui o eixo do "y", vamos colocar aqui o eixo do "x", e vamos colocar os valores que são importantes. 1, 2, 3, 4, 5, e aqui 1, 2, 3, obviamente não está em escala, 1, 2, 3. Quando "x" for zero, "y" é 3,9. Então, ele vai passar por este ponto aqui. E este ponto é um ponto de mínimo. Portanto, esta aqui vai ser uma concavidade assim. Ele vai ter este formato. Agora, vamos ver os pontos de inflexão. Quando "x" for 3, vamos fazer na calculadora. 3⁴ é 81, 81 mais 27, e vamos tirar o logaritmo natural, que vai dar 4,7 aproximadamente, ou seja, ele vai passar no ponto de inflexão, vai ser o ponto 3 e 4,7. Aqui nós temos 3, 4, então, 4,7 vai ser um ponto por aqui. Este é um ponto de inflexão. O outro ponto de inflexão, -3, como o -3 está elevado à quarta, também vai dar 4,7. Portanto, aqui vai ser também um ponto de inflexão. Então, a curva, vamos colocar tudo em outra cor, a curva vai ter um mínimo aqui em 3,29, e vai ter os pontos de inflexão quando "x" for 3 e "y" for 4,7, aproximadamente, ele vai fazer isto. E deste lado de cá ele tem a concavidade para baixo, vamos ver aqui, acima de -3, a concavidade é para cima, e abaixo de -3, a concavidade é para baixo. Portanto, ele vai ter um ponto de inflexão aqui. Ou seja, vamos colocar em outras cores, aqui a concavidade passa a ser para baixo, aqui a concavidade ainda é para cima, antes de 3, a concavidade é para cima ainda, depois de 3, a concavidade é para baixo. É assim que vai ficar a curva. Vamos verificar se este realmente é o gráfico que nós vamos obter quando nós representarmos através do computador. Vejamos, aqui nós temos "y" igual ao logaritmo, eu tenho que colocar t⁴ mais 27, e vamos plotar agora o gráfico. Ele faz exatamente isto. Aqui em 3 vírgula alguma coisa, ele é um ponto de mínimo, mas não é um ponto de inflexão. Em 3, ele tem 4,7, aproximadamente, vamos colocar em 3, 4,7, exatamente aqui é um ponto de inflexão, e quando for -3, ele vai ter outro ponto de inflexão. (-3, 4,7) ele também tem um ponto de inflexão. Então, antes, ele tem a concavidade para cima, depois, ele tem a concavidade para baixo. Aqui não é um ponto de inflexão, ele é apenas um ponto de mínimo, onde f' nós igualamos a zero e verificamos que quando "x" for zero, "y" será 3 vírgula alguma coisa. E vimos que nós temos um ponto de inflexão aqui tanto em 3, que é o 4,7, e -3, que é o 4,7 também. Então, realmente, está bem plotada a curva. Revisando, nós temos: a primeira derivada nós igualamos a zero e vimos que era um ponto crítico, não sabíamos se era mínimo ou máximo. Depois que tiramos a segunda derivada e verificamos que antes do zero e depois do zero ele não mudava a concavidade e a concavidade era para cima, nós verificamos que era um ponto de mínimo. Por isso, plotamos o ponto de mínimo no ponto (0, 3,29), que é este ponto. Depois, analisamos no ponto 3, antes do 3 e depois do 3. Vimos que depois do 3 a concavidade é para baixo, ou seja, é a concavidade para cá, depois do 3. Antes do 3, a concavidade é para cima. Então, nós representamos a curva desta forma. Analisando o -3, nós temos antes do -3, ou seja, menor do que -3, a concavidade é para baixo. Portanto, aqui, a concavidade é para baixo. E depois do -3, a concavidade é para cima. Portanto, aqui é um ponto de inflexão, aqui é um ponto de inflexão e aqui é um ponto de mínimo, e, com isto, conseguimos plotar o gráfico.