Introdução à regra de L'Hôpital

RKA8JV - Uma das coisas que mais fazemos ao iniciar o estudo de cálculo é usar limites para calcular derivadas de funções. De fato, a derivada é definida por limite, é o limite da inclinação do gráfico da função em um certo ponto, quanto mais nos aproximamos dele. Você já viu isso muitas vezes. A ideia agora, neste vídeo, é fazer o contrário, usar derivadas para calcular certos limites. Especialmente, vamos utilizar essa ideia quando temos limites envolvendo situações de indeterminação ou indefinição, como zero sobre zero, infinito sobre infinito, ou menos infinito sobre menos infinito. O que nos vai ajudar a calcular limites envolvendo estas situações é a regra de L'Hôpital. Vamos ver, neste vídeo, o que diz a regra de L'Hôpital e como aplicá-la nos cálculos de derivadas envolvendo indefinições ou indeterminações. A utilização da regra de L'Hôpital é relativamente simples, mas a demonstração é um pouco mais complicada. Podemos em outra situação, em outro vídeo, trabalhar com ela. Vamos para a regra de L'Hôpital então. Se temos uma função f(x), de maneira que o limite com "x" tendendo a "c'' do "f(x) = 0" e o limite de g(x) com "x" tendendo a "c" também é igual a zero, e, veja, é outro "e". O limite com "x" tendendo a "c" do f'(x)/g'(x) existe e é igual a "L", então, o limite com o "x" tendendo a "c" do f(x)/g(x) também é igual a "L". Isto pode parecer um pouquinho bizarro para você, mas, mais à frente trataremos de exemplos e isso tudo vai ficar bem claro. Ali, tratamos do primeiro caso, em que nós teríamos f(x) igual a zero, e o g(x) também igual a zero, mas vamos a um segundo caso. Se temos um limite com "x" tendendo a "c" do f(x) sendo igual a mais ou menos infinito (±∞), e o limite com "x" tendendo também a "c" do g(x) = +∞ ou -∞ e o limite com "x" tendendo a ''c" do f'(x)/g'(x), existe e é igual a "L", então podemos fazer a mesma afirmação que está acima novamente. Ou seja, então, o limite com "x" tendendo a "c". do f(x)/g(x) é igual ao próprio "L". Desse jeito, quando você tem uma situação como naquele primeiro caso, em que o limite do f(x) é igual a zero com "x" tendendo a "c". E o limite com "x" tendendo a "c", também do g(x), é igual a zero, e você precisa achar o limite do f(x)/g(x) com "x" tendendo a "c", basta você verificar se o limite do f'(x)/g'(x) com "x" tendendo a "c'' existe, e se existir, é o mesmo limite para o f(x)/g(x) com "x" tendendo a "c". A mesma ideia você pode usar para quando tem ∞/∞, que é o que temos neste segundo caso aqui. ∞/∞ ou -∞/-∞ ou o contrário. Então estas são as duas formas indeterminadas para as quais a regra de L'Hôpital se aplica. Vamos, então, para um exemplo. Digamos que precisamos calcular o limite com "x" tendendo a zero de sen(x)/x. Se nós tentarmos aplicar o limite com "x" tendendo a zero para sen(x) e para "x", vamos chegar a algo como zero sobre zero. sen(0) é zero e "x" sendo do zero, óbvio, zero. Chegamos, então, a uma forma indeterminada, então, não podemos dar, neste momento, uma resposta definitiva sobre esse limite. Comparando com o que escrevemos logo acima, se sen(x) for f(x) e "x" for o g(x), f(x) é o sen(x), "g(x) = x". Perceba que estamos na situação do primeiro exemplo, em que todas as condições são satisfeitas para usar a regra de L'Hôpital. Limite quando "x" tende, neste caso, a zero, ou seja, o "c" é zero, então, o limite quando "x" tende a zero do sen(x), é zero, e o limite quando "x" tende a zero, de ''x", também é igual a zero. Agora, temos que verificar se este outro limite, que é o limite com "x" tendendo a zero, dá f'(x)/g'(x), existe e dá um certo valor. Vamos escrever aqui. Se f(x) é sen(x), então, f'(x) é cos(x). Se "g(x) = x", então g'(x) é muito fácil, 1. Então agora temos que verificar se o limite com ''x" tendendo a zero de f'(x)/g'(x) existe. Neste caso, estamos falando, então, de limite com "x" tendendo a zero de cos(x)/1. Veja que este 1 é até desnecessário de escrever, mas vamos lá. O limite quando "x" tendendo a zero de cos(x) = 1, então, este limite todo é igual a 1/1, ou seja, simplesmente 1. Então, neste caso, o limite com "x" tendendo a zero, note que o nosso "c" aqui é zero, do f'(x)/g'(x), é igual a 1, e ele existe, portanto. Com isso, nós cumprimos todas as condições para que a regra de L'Hôpital seja usada. Ou seja, o limite do f(x) quando "x" tende a zero é zero, também o limite do g(x) quando "x'' tende a zero é zero, e o limite quando "x" tende a zero do f'(x)/g'(x) existe, e é igual, óbvio, a um certo valor que, neste caso, foi 1. Sabendo, então, que tudo isto está satisfeito, então, nós temos esta conclusão. O limite, quando "x" tende a "c" do f(x)/g(x), é igual ao mesmo limite que nós experimentamos com as derivadas. Ou seja, o limite quando "x" tende a zero de sen(x)/x é igual a 1. Farei mais exemplos em próximos vídeos. Até lá!