Exemplo resolvido: aproximação com linearidade local

RKA8JV - Olá meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um problema sobre linearidade local. Esse problema diz o seguinte: A função f é duas vezes diferenciável com o f(2) = 1, f '(2) = 4 e f''(2) = 3. Qual é o valor da aproximação de f(1,9) usando a reta tangente ao gráfico de f em x = 2? Bem, pause este vídeo aqui e veja se você consegue descobrir isso sozinho ou sozinha. E aí, fez? Vamos fazer juntos agora? Bem, se eu fosse fazer uma questão como esta em uma avaliação, eu iria apenas querer descobrir a equação da reta tangente que passa pelo ponto (2,1), ou seja, quando "x = 2" e "y = 1". E aí, descobriria o valor de "y" quando "x = 1,9". Bem, isso na verdade seria uma aproximação, mas para aprender a ter uma intuição aqui, vamos apenas ter certeza de que entendemos o que está acontecendo. Então, vamos fazer um gráfico. Digamos este daqui seja o meu eixo "y", e este daqui seja o meu eixo "x". Temos aqui "x = 1" e aqui "x = 2". Aqui também temos "y = 1". Nós sabemos que o ponto (2, 1) está mais ou menos aqui, em "x = 2" e "x = 1". Então sabemos deste ponto, que ele está bem aqui. E também sabemos que a inclinação da reta tangente é igual a 4, Então vamos ter algo que se parece com isto aqui. Bem, provavelmente vai ser um pouquinho mais inclinado do que isto, mas é mais ou menos assim que a reta tangente vai se parecer. Bem, não sabemos muito mais sobre isso. Ah, claro, nós conhecemos a segunda derivada aqui também. Mas isso aqui nem vai ser importante agora. Enfim, a questão está pedindo para fazer algo, mesmo que a gente não saiba como que é a função. Ela pode ter, por exemplo, este formato aqui, mas a gente não sabe realmente como que ela é. Estamos tentando descobrir f(1,9), então, se "x" é 1,9, se a função tiver este formato, f(1,9) pode ser este valor bem aqui. Mas não sabemos exatamente isso, porque não sabemos muito mais sobre a função. No entanto, a questão está sugerindo a reta tangente. Se gente conhecer a equação desta reta tangente aqui, poderemos encontrar um valor de "y" para esta reta quando "x = 1,9". Quando é "x = 1,9" nós temos este ponto bem aqui. E aí, poderíamos usar isso como uma aproximação para f(1,9) Bem, para fazer isso, precisamos conhecer a equação da reta tangente, e podemos fazer isso aqui da seguinte forma: temos que "y" menos o valor de "y" que sabemos que está nesta reta, neste caso, sabemos que o ponto (2, 1) está nesta reta. Então temos "y - 1'', que vai ser igual à inclinação da nossa reta tangente que sabemos que é igual a 4, vezes "x" menos o valor de "x" que corresponde para este "y", que, neste caso, é 2, então, temos "x - 2". Agora, só temos que substituir o "x" por 1,9 para obter a nossa aproximação para f(1,9). Sendo assim, temos "y - 1", que é igual a 4 vezes (1,9 menos 2). 1,9 menos 2 é -0,1, e 4 vezes -0,1 = -0,4. Agora, basta a gente adicionar 1 em cada lado desta igualdade. Assim, chegamos à conclusão que "y" é igual a, se você adicionar 1 aqui, vai encontrar 0,6. Bem, aqui eu não desenhei muito bem, já que 0,6 pode ser algo mais perto daqui. Mas enfim, está aí, esta é a nossa aproximação para f (1,9), e aí, nossa alternativa aqui é a letra "B". Terminamos! Ah, um detalhe, uma coisa que é interessante perceber é que não tivemos que utilizar todas as informações que o problema nos forneceu. Não tivemos que usar esta informação sobre a segunda derivada, a fim de resolver o problema. Então, se você se encontrar em uma situação como esta, não duvide muito de si mesmo, porque às vezes, o problema pode fornecer informações desnecessárias. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo o que conversamos aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!