Continuidade em um intervalo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos estudar continuidade ao longo de um intervalo. Uma função é contínua em x igual a c se, e somente se, (deixe-me utilizar esse símbolo aqui) o limite da função f(x) quando x tende a c é igual a f(c). Quando falamos dessa definição, nós vimos que era algo bastante técnico, mas que isso ficava mais fácil se nós tivéssemos uma ideia intuitiva do que está acontecendo. Basicamente, analisaremos a função quando nos aproximarmos do ponto pela esquerda e pela direita e se a função for contínua, então quando pegarmos uma caneta e desenharmos esse gráfico, o valor da função no ponto deve ser igual ao limite. Basicamente, para uma função ser contínua, quando pegarmos a caneta e desenharmos o gráfico, nós não teremos interrupções. Essa aqui é a forma rigorosa de escrever isso, ou seja, você não tem um salto no gráfico, você não tem um buraco, você não tem uma descontinuidade. Com isso entendido, vamos discutir a continuidade em intervalos. Primeiro vamos falar de um intervalo aberto porque um intervalo fechado tem algumas coisas que devemos prestar mais atenção. Podemos dizer que f é contínua em um intervalo aberto (a, b) (lembrando que nós utilizamos parênteses para representar intervalos abertos, o que significa que nós não estamos incluindo as extremidades), portanto nesse intervalo nós teríamos todos os valores entre “a” e “b”, mas não incluindo "a" nem "b" e isso só acontece se, e somente se, f for contínua em cada ponto no intervalo. Vamos fazer um exemplo para entender isso bem? Vamos analisar se a função é contínua no intervalo de -7 a -5. Olhando o nosso gráfico, nós queremos saber se f é contínua nesse intervalo aqui. Existe uma maneira não tão matemática de analisar isso: você pode pegar a sua caneta e começar aqui no -7, ir descendo até -5 e você vai ver que não há interrupção. E claro, se quiser analisar isso mais rigorosamente, você vai precisar da lei de definição da função. Com ela você vai ser capaz de fazer um teste. Você vai perceber que para qualquer ponto desse intervalo que o limite de x quando ele se aproxima de qualquer um desses pontos vai ser igual ao valor da função nesse ponto, mas isso é difícil de fazer quando você só tem um gráfico. É muito mais fácil utilizar uma ideia intuitiva, que é analisar o gráfico, ou seja, você pode colocar a sua caneta aqui e ver que é possível caminhar por todo o intervalo sem tirar a caneta do papel. Portanto a função é contínua nesse intervalo. Deixe-me marcar isso aqui indicando que a função é contínua nesse intervalo. Vamos ver mais um exemplo? Vamos analisar a função no intervalo de -2 até 1. Esse intervalo é interessante porque o -2 está bem aqui, e como o -2 não faz parte do intervalo, inicialmente começaríamos a analisar daqui e depois disso você caminharia ao longo do intervalo, ou seja, por ser um intervalo aberto nós não estamos interessados nesse -2. Nós estamos interessados em número de maiores do que ele. Portanto começaríamos com a nossa caneta aqui, navegaríamos no intervalo até antes do 1, e como nós não precisamos retirar a caneta, isso significa que a função é contínua em cada ponto do intervalo. Por isso ela é contínua neste intervalo. Agora, vamos pensar em um intervalo onde a função não é contínua? Vamos pegar o intervalo de 3 a 5. A função está aqui quando x é igual a 3 e a partir desse ponto, se quisermos chegar no 5, nós temos que caminhar nessa curva aqui até o infinito chegando próximo da reta x igual a 4, que é o que chamamos de assíntota, e para continuar o gráfico nós temos que tirar a caneta do papel e continuar até chegar ao 5. Portanto f não é contínua em cada ponto do intervalo, e por isso a função não é contínua nesse intervalo aqui. Entendido isso, vamos aprender o que acontece com intervalos fechados? Ou seja, vamos analisar quando a função é contínua em um intervalo fechado [a, b]. Estes colchetes estão dizendo que "a" e "b" fazem parte do intervalo e isso só é verdade se, e somente se, f for contínua em (a, b), ou seja, no intervalo (a, b), e o limite de f(x) quando x se aproxima de "a" pela direita, isto é, se aproxima por aqui, for igual a f(a) e o limite de f(x) quando x se aproxima de "b" pela esquerda, ou seja, se aproximar por aqui, for igual ao f(b). Basicamente isso aqui está dizendo que o limite da função quando você se aproxima pelo lado é igual ao valor da função naquele ponto. Então, por exemplo, se nós pensarmos no intervalo fechado de -7 até -5, é bem intuitivo que se você começar desenhando a função aqui, conseguirá navegar pelo intervalo sem tirar a caneta do papel, e sendo -7 o extremo da esquerda, esses valores aqui não fazem parte do intervalo. Mas isso não quer dizer que a função não seja contínua no intervalo. Isso porque você utiliza o limite da direita em relação a ele, ou seja, o limite da direita é igual ao valor da função. Analisando esse segundo ponto, o limite pela esquerda é igual à função mesmo que não seja definido aqui. OK, vamos ver mais um exemplo. Vamos analisar se a função é contínua no intervalo de -3 até -2. Então eu pego a minha caneta e começo a desenhar um intervalo, vou até o -2, que faz parte do intervalo, e se tivesse uma lei de definição, você poderia provar analiticamente que o limite pela direita e o limite pela esquerda são iguais ao valor da função em cada ponto. E claramente a função é contínua em -3. Mas neste ponto o limite bilateral não existe, ou seja, quando estamos nos aproximando pela esquerda, parece que a função está se aproximando de zero, mas quando estamos nos aproximando do -2 pela direita, a função está se aproximando de -3. Mesmo que o limite bilateral não exista, nós estamos confortáveis em dizer que essa função é contínua nesse intervalo porque o limite quando a função se aproxima pela esquerda existe, ou seja, à medida que vai se aproximando do ponto pela esquerda, você vai se aproximando do valor da função e por isso podemos dizer que a função é contínua nesse intervalo. Por fim, será que a função é contínua no intervalo de -2 até 1? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente pensar nisso sozinho. Vamos lá, então. Nós estamos analisando o intervalo de -2 até 1. Observe que -2 é o limite inferior, então será que isso aqui é verdade? Ou seja, será que o limite quando estamos nos aproximando pela direita é a mesma coisa que o f(-2)? Não, e observe que conforme nós vamos nos aproximando desse ponto, parece que a função vai se aproximando de -3, e f(2) é igual a zero. Portanto o limite não é igual ao valor da função no ponto, ou seja, isso aqui não acontece. Portanto não podemos dizer que a função é contínua nesse ponto. Isso faz bastante sentido, não é? Se você pegar a sua caneta e começar nessa parte aqui do intervalo, nesse extremo, para continuar caminhando sobre o intervalo você vai ter que tirar a caneta do papel e continuar dessa parte até chegar a 1, ou seja, tem uma interrupção, por isso a função não é contínua nesse intervalo. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!