Aproximação de limites usando tabelas

RKA4JL - Neste vídeo vamos olhar para o limite quando x tende a 3 de (x³ menos 3X²) sobre (5x menos 15). Nós vamos olhar para esta expressão analisando quais são os valores que ela assume quando x vai chegando perto de 3. Antes disso, vamos olhar para esta expressão e verificar o que acontece quando x é igual a 3. Colocando 3 no lugar do x vamos ter (x³ menos 3x²) sobre (5 vezes 3 menos 15). No numerador vamos ter 3³, 27, menos 3 vezes 9, que também é 27, dá zero, e no denominador vamos ter 5 vezes 3, 15 menos 15, também zero. Essa expressão não é definida, e mesmo tendo essa situação em que a expressão não é definida para o certo valor de x, neste caso 3, ou olhando que ela define uma função, a função não teria o número 3 no seu domínio, vamos pensar sobre o que esse limite poderia ser. Para fazer isso vou construir uma pequena tabela. Na primeira coluna valores de x, na segunda coluna valores para o resultado da expressão (x³ menos 3x²) sobre (5x menos 15) Vou fazer outra tabela e já te digo o porquê. Aqui x, aqui a expressão (x³ menos 3x²) sobre (5x menos 15) Veja que eu não precisaria ter duas tabelas, eu poderia fazer tudo em apenas uma, mas eu separei em duas tabelas porque na primeira tabela nós vamos analisar valores de x que são cada vez mais perto de 3, que se aproximam do 3 pela esquerda, e na outra tabela valores de x que se aproximam do 3 pela direita. Então na primeira tabela vamos por, por exemplo, 2,9 para x e vamos calcular o valor da expressão quando x é 2,9. Depois vamos chegar um pouquinho mais perto do 3 colocando 2,99 para x e por que não, vamos um pouco mais perto ainda colocando 2,999. O que estamos querendo aqui é verificar o que acontece com essa expressão, qual é o valor que ela assume conforme x vai chegando próximo de 3. Nesta primeira tabela o que estamos fazendo, então, é verificar o limite dessa expressão quando x se aproxima de 3 pela esquerda. E por que dizer "pela esquerda"? Ora, porque nós estamos indo da esquerda para a direita, vindo da esquerda a partir de números menores que 3 e chegando próximo do 3 partindo da esquerda do 3, pensando em um eixo numerado, em uma reta numerada. Para que o limite com x tendendo a 3 dessa expressão exista, os limites à esquerda e à direita do 3 precisam se aproximar do mesmo valor. Na segunda tabela vamos ter o limite pela direita, x tendendo a 3 pela direita. Esses valores de x que vou usar na segunda tabela, portanto, devem ser maiores que 3. Por exemplo, 3,1. Vamos um pouquinho mais perto do 3, 3,01, e um pouquinho mais 3,001. Com isso podemos ter uma aproximação, ter uma ideia do que está acontecendo quando o valor de x vai chegando perto de 3 vindo de valores maiores que 3, vindo pela direita. Eu poderia nas duas tabelas continuar com valores mais próximos de 3, na primeira com 2,99999, ou na outra com 3,000001. Uma confusão que às vezes acontece são pessoas achando que o limite à esquerda são valores negativos e à direita são valores positivos, mas não se trata disso. Nós estamos tratando de valores menores que 3 ou maiores que 3, porque nosso limite está sendo obtido para x tendendo ao número 3. Peguei uma calculadora, então, e fiz as contas para preencher essa tabela. Eu vou economizar tempo aqui e já vou colocar direto os valores. Agora, com a tabela preenchida (você não precisou ficar me esperando fazer tantas contas), parece que nas duas tabelas podemos estimar que quando x se aproxima de 3, o limite dessa expressão, tanto para x tendendo a 3 pela esquerda ou pela direita, o limite se aproxima de 1,8. Mas será que 1,8 é o valor exato desse limite? No futuro nós vamos ter as ferramentas para determinar esse valor com exatidão. De qualquer forma, se não tiver certeza sobre o valor que você está estimando para o limite, você pode continuar essas tabelas com valores cada vez mais próximos do 3 e fazendo os cálculos correspondentes. Até o próximo vídeo!