Qual a diferença entre "ln" e "log"?

ln é o log com base "e", que é um número irracional.

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Introdução a propriedades dos logaritmos

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Aprenda sobre as propriedades de logaritmos e saiba como usá-las para reescrever expressões logarítmicas. Por exemplo, expanda log₂(3a).


A regra do produto	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
A regra do quociente	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
A regra da potência	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(Essas propriedades se aplicam a quaisquer valores de

M

N

b

para os quais o logaritmo é definido, que é

M

N > 0

0 < b \neq 1

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Você deve saber o que são logaritmos. Caso você não saiba, confira nossa introdução aos logaritmos.

O que você vai aprender nessa lição

Logaritmos, assim como expoentes, têm muitas propriedades úteis que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e calcular equações logarítmicas. Esse artigo explora três dessas propriedades.

Vamos analisar cada propriedade individualmente.

A regra do produto: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Essa propriedade expressa que o logaritmo de um produto é a soma dos logs de seus fatores.

Claro! se

M = 4

N = 8

b = 2

, então de acordo com a propriedade,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Como 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & Calculando os logs \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.

Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do produto

Para o que queremos, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.

Vamos expandir

\log_{6} (5 y)

Observe que os dois fatores do argumento do logaritmo são

5

y

. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Regra do produto \end{aligned}

Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do produto

Para o que queremos, comprimir uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-la como um único logaritmo.

Vamos condensar

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

Como os dois logaritmos têm a mesma base (base

3

), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Regra do produto \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Uma observação importante

Ao comprimir expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.

Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar uma expressão como

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

Teste seu conhecimento

1) Expanda $\log_{2} (3 a)$ ‍.

2) Condense $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

A regra do quociente: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Essa propriedade expressa que o log de um quociente é a diferença entre os logs do dividendo e do divisor.

Claro! Se

M = 81

N = 3

b = 3

, então de acordo com a propriedade,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & Como 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & Calculando os logs \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.

Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo: Expansão de logaritmos usando a regra do quociente

Vamos expandir

\log_{7} (\frac{a}{2})

, escrevendo-o como a diferença de dois logaritmos, aplicando a regra do quociente diretamente.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Regra do quociente \end{aligned}

Exemplo: Compressão de logaritmos usando a regra do quociente

Vamos condensar

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Como os dois logaritmos têm a mesma base (base

4

), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Regra do quociente \end{aligned}

Uma observação importante

Quando comprimimos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.

Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar algo como

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Teste seu conhecimento

3) Expanda $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Condense $\log (3 z) - \log (8)$ ‍.

A regra da potência: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Essa propriedade diz que o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base da potência.

Claro! Se

M = 4

p = 2

, e

b = 4

, então de acordo com a propriedade,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Como 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Calculando os logs \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.

Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.