Construções geométricas: triângulo equilátero inscrito em uma circunferência

RKA - Construa um triângulo equilátero inscrito na circunferência. A primeira coisa que eu vou fazer vai ser construir uma nova circunferência, com as mesmas dimensões da circunferência original. Depois disso, eu vou pegar o centro da circunferência nova e pousá-lo sobre a circunferência original (dessa forma aqui), de maneira, também, que o centro da outra circunferência fique sobre a nossa circunferência nova. E parece bom assim. Agora, vamos pensar numa coisa: se eu construir aqui esse segmento que liga o centro da circunferência original ao centro da circunferência nova, é claro que esse segmento tem um comprimento de um raio. E, agora, vamos fazer, novamente, a mesma coisa; e esse novo segmento que eu vou fazer aqui tem também a dimensão de um raio, pois tem a mesma medida do segmento que desenhamos primeiro. Um dos pontos desse segmento está sobre o centro da nossa nova circunferência, e o outro aqui nesse ponto de interseção. Logo, por construção, esses dois segmentos aqui têm a mesma medida. E, agora, se eu fizer isso novamente (conectar esse ponto aqui nesse ponto aqui), também terá a dimensão de um raio. Então, essa figura aqui que eu construí é um triângulo equilátero. Mas por que isso é importante? Bem, nós sabemos que os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60 graus, portanto, esse ângulo aqui é um ângulo de 60 graus. Mas por que esse ângulo de 60 graus aqui nos interessa? Bem, imagine que eu construa um outro triângulo equilátero dessa forma aqui, de maneira simétrica, como se fosse um reflexo daquele primeiro que nós desenhamos. Bom, pelo mesmo argumento, esse ângulo aqui também é um ângulo de 60 graus. Logo, esses dois ângulos juntos medem 120 graus. E por que isso nos interessa? Bom, se esse ângulo aqui mede 120 graus, esse arco aqui todo mede 120 graus também. Isso significa que esse arco é 1/3 dessa circunferência original aqui; está dividindo a circunferência original em 3 (é 1/3 de toda a circunferência). E, se isso aqui é 1/3 ao redor da circunferência, então, se eu conectar esses dois pontos aqui assim, eu vou ter um dos lados do meu triângulo equilátero. Esse lado aqui, então, ele é secante a esse arco; que, por sua vez, é igual a 1/3 de toda a circunferência. Bom, e eu posso continuar fazendo isso. Vamos mover aqui o nosso círculo ao redor da circunferência, de maneira que ele intersecte aqui esses dois pontos, assim. E, aí, eu já posso pegar esse pontinho aqui e botar aqui, e esse outro ponto fica ali; e eu tenho um novo lado do meu triângulo equilátero. Uma vez que, pelo mesmo argumento, esse arco aqui tem 120 graus. É 1/3 de toda a circunferência. Então, eu tenho aqui mais um lado do triângulo equilátero, já que esse lado, aqui, ele é secante a um arco de 120 graus. Agora, vamos mover novamente essa circunferência. Só que, na verdade, claro, não preciso mais movê-la; eu posso simplesmente conectar os nossos dois últimos pontos aqui. Conectar dessa maneira aqui. E, é isso! Construímos o nosso triângulo equilátero. Como sempre, acertamos!