Intuição sobre a área de um círculo

RKA2MB - Neste vídeo, vamos deduzir intuitivamente a área da circunferência, sabendo que o perímetro da circunferência vale "2πr". Vamos iniciar nosso argumento com a área de um triângulo. A área desse triângulo (vamos chamar de A₁) é igual ao apótema "a" vezes a base "b" sobre 2. Se quisermos saber a área do polígono inscrito dentro dessa circunferência, basta somarmos todas essas áreas. Ou seja, se somarmos essa área, mais essa, mais essa, mais essa, mais essa (uma, duas, três, quatro, cinco), nós vamos ter que a área do polígono inscrito vai ser a área (vamos colocar 5) de 5 vezes "a" vezes "b" (eu posso colocar como "b" vezes "a", é a mesma coisa) sobre 2. À medida que eu aumento o número de lados do meu polígono, eu vejo que o perímetro do meu polígono inscrito dentro da circunferência se aproxima do perímetro da própria circunferência. Ou seja, se eu calculo a área de todos esses triângulos internos, dentro da circunferência, eu estou me aproximando da área total da própria circunferência. Para o segundo caso, nós temos a área (vamos chamar de Área 2)... temos a Área 2 igual ao apótema, que já não é o mesmo...esse apótema está crescendo, pois, à medida que eu aumento o número de lados, essa distância entre "b" e o centro diminui; obviamente, o apótema está tendendo cada vez mais ao próprio "r" (o apótema está tendendo ao próprio "r")... então, temos o apótema vezes a base "b" sobre 2. Então, para a área total, temos... um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete... temos 7 triângulos. Portanto, a área dos sete triângulos vai ser o número de triângulos, 7, vezes o apótema vezes a base sobre 2. Vamos preencher essa área para ficar bem caracterizado. Nós temos a área se aproximando da área da própria circunferência. Vamos ver para esse terceiro caso. Nós temos um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Portanto, essa área (vamos chamar Área 3)... essa Área 3 é igual ao apótema (que está se aproximando do raio)... o apótema vezes a base (que está se aproximando de zero) sobre 2. Ou seja, quando o número de lados tende a infinito, "n" vezes "b" vai tendendo a 2πr. "n" vezes "b" é o perímetro do meu polígono inscrito. Quando "b" tende a zero, ou seja, o número de polígonos inscritos tende a infinito e "b" tende a zero, "n" vezes "b" tende ao perímetro da própria circunferência, uma vez que "n" vezes "b" é o perímetro do polígono inscrito. Então, podemos escrever a área para 10 triângulos formando o polígono inscrito como 10 vezes "b" sobre 2 vezes o apótema "a". E, colocando dessa forma, nós temos que a área fica sendo essa: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Então, intuitivamente, provamos que a área, cada vez mais, se aproxima da circunferência. Mas o que acontece quando a área fica tão próxima quanto eu queira da circunferência? Nossa equação principal é Aₙ (ou seja, quando "n" for o número de lados)... aqui era 7, aqui é 7; aqui era 5, aqui é 5; aqui é 10, aqui é 10... para "n", eu tenho "n" vezes "b" sobre 2 vezes o apótema. O apótema, nós estamos vendo que ele tende a "r". À medida que eu aumento o número de lados, o apótema tende a "r". À medida que eu aumento o número de lados, esse comprimento tende a "r", ou seja, quando "n" tender a infinito, duas coisas vão acontecer: primeiro, o apótema vai tender a ser igual a "r", e "n" vezes "b" vai tender a ser o perímetro da circunferência, ou seja, 2πr. Portanto, o nosso Aₙ, quando "n" tende a infinito, vai ser "nb" (que é 2πr) sobre 2 vezes o apótema, que tende a "r". Então, temos que a área da nossa circunferência, ou seja, a área quando o número de polígonos inscritos na circunferência tende a infinito e assume a forma da própria circunferência, será π vezes "r" vezes "r" (r²). Com isso, chegamos à famosa expressão que é a área da circunferência é πr², como queremos demonstrar.