Medianas e baricentros de triângulos

RKA2MB Vamos recordar rapidamente o que são as medianas de triângulos, e também explorar uma propriedade interessante delas, que, em minha opinião, é útil em exercícios futuros. Vou desenhar um triângulo qualquer aqui. O desenho ficou bom! Agora, uma mediana do triângulo (e a gente vai ver que um triângulo tem três medianas) é apenas uma reta que liga um vértice do triângulo com o ponto médio do seu lado oposto. O ponto médio do outro lado parece estar aqui; esse comprimento é igual àquele comprimento. Esta é uma mediana. E é claro que temos três vértices, então teremos três medianas. Se começar neste vértice, iremos para o ponto médio do lado oposto; e parece estar bem aqui. Portanto, essa reta azul é outra mediana. Não tracei uma reta muito certinha, mas acho que entenderam, né? Depois, dá para traçar também a mediana deste ponto; traçar uma reta deste vértice para o ponto médio do lado oposto. Vamos ver o ponto médio do lado oposto aqui. Traçamos uma reta. Cada uma delas. Vou traçar uma reta mais reta do que essa. Pronto! Entenderam. Todas estas são medianas deste triângulo; e o mais legal sobre medianas é que todas as três medianas sempre se intersectam em um ponto, o que, por si só, já é uma propriedade muito bacana. O ponto em que ela se intersectam é chamado de baricentro. Se este fosse, na verdade, um triângulo físico (digamos que fosse feito de ferro) e a gente fosse jogar, mesmo antes de jogar, o baricentro seria o centro da massa. Digamos, então, que este é um triângulo de ferro que tem seu baricentro; e o centro de massa desse triângulo de ferro seria onde está o baricentro, pressupondo que ele tenha uma densidade uniforme. E, se jogassem esse triângulo de ferro, ele iria girar ao redor deste ponto. Pressupondo que tivesse algum movimento de rotação, iria girar ao redor deste baricentro, ao redor do centro de massa. Mas, enfim... o objetivo deste vídeo não é focar na física, ou em jogar triângulos de ferro. Eu quero mostrar uma propriedade legal das medianas, que é: se você pegar qualquer mediana, a distância do baricentro para o ponto médio do lado oposto, essa distância será metade desta distância. Então, se essa distância aqui for "a", esta distância será "2a". Ou outra forma de pensar é que essa distância é 2/3 do comprimento de toda a mediana, e essa distância é 1/3 do comprimento de toda a mediana. Vamos agora comprovar, para que tenham evidências de que é verdade. E, para isso, eu vou desenhar outro triângulo; vou desenhar um triângulo bidimensional qualquer. Vou fazer em três dimensões porque, pelo menos para mim, facilita um pouco a matemática. Em geral, quando tem uma figura "n" dimensional, e ela é incorporada em dimensões "n + 1", facilita a matemática. O exercício com um tetraedro que fizemos dá para incorporar em quatro dimensões, o que teria facilitado a matemática, mas é muito mais difícil de visualizar. Digamos que tenha um triângulo qualquer, e tenha um vértice aqui, outro vértice aqui, e um vértice aqui. Não estou pressupondo nada sobre o triângulo, não estou dizendo que ele é isósceles, equilátero ou o que for, ele é apenas um triângulo arbitrário. Digamos também que esta coordenada é... vou chamar de eixo x (este é o eixo x), o eixo y e o eixo z. Sei que alguns de vocês estão acostumados a trocar esses dois eixos, mas isso não faz nenhuma diferença. A gente chama a coordenada aqui de (a, 0, 0); assim é "a" no eixo x. E essa coordenada é chamada de (0, b, 0), e vamos chamar essa coordenada aqui em cima de (0, 0, c). Se ligarem os pontos, terão um triângulo, como esse. Agora, o baricentro de um triângulo, especialmente em três dimensões... o baricentro de um triângulo será simplesmente a média das coordenadas dos vértices, ou a coordenada do baricentro será simplesmente a média das coordenadas dos vértices. Essa coordenada será... para a coordenada "x", tem "0 + 0 + a". Assim, tem três coordenadas; elas somam "a" e tem que dividir por 3. Então, é "a/3". A coordenada "y" será "b + 0 + 0", a soma dá "b", mas tem três delas, então a média é "b/3". Depois, a mesma coisa; vamos fazer o mesmo com a coordenada "z". A média será "c/3". E não estou provando isso para vocês aqui; dá para verificar sozinho. Mas ela será a média se a gente fosse descobrir onde é o ponto deste baricentro, ou este centro de massa desse triângulo (se tivesse alguma massa). Agora, o que queremos fazer é usar essas informações. Vamos usar esta coordenada e depois comparar usando a fórmula de distância. Vamos comparar essa distância aqui em cima, de laranja, com essa distância aqui embaixo, em amarelo. Lembre-se: esse ponto aqui é a mediana deste lado inferior. Ela será simplesmente a média desses dois pontos. Então, a coordenada "x": "(0 + a)/2" será "a/2"; "(b + 0)/2" será "b/2". Ela não tem nenhuma coordenada "z", então será simplesmente zero. "(0 + 0)/2" é 0. Portanto, a gente sabe as coordenadas para este ponto, este ponto e este ponto; dá para calcular, então, a distância em amarelo e a distância em laranja. Vamos calcular a distância em laranja. Ela será igual à raiz quadrada de... apenas calculamos as diferenças de cada um desses pontos ao quadrado... então, é "((a/3) - 0)²", que será "a²/9"... mais "((b/3) - 0)²", então, é "b²/9"... mais "(c/3) - c", que é -2/3, e tem que elevar isso ao quadrado... teremos, então, "(4/9)c²". Fiz isso direito? "c/3", então... "(1/3) - 1" é -2/3... então, é "(-2/3)c"... elevamos ao quadrado e teremos "(4/9)c²". Então, é a diferença, é a distância em laranja. E, se quiser calcular, podemos expressar. Vou expressar de uma forma um pouco mais simples. Isto é igual à raiz quadrada de "a² + b² + 4c²" sobre a raiz quadrada de 9, que é igual a 3. Agora, vamos fazer a mesma coisa com a distância em amarelo. Ela será igual à raiz quadrada de... se a gente tem "(a/2) - (a/3)", então... "(1/2) - (1/3)" é igual a "(3/6) - (2/6)"... então, é "(1/6)‧a"... "((1/6)‧a)² é "a²/ 36". "(b/2) - (b/3)" é "b/36"... elevamos ao quadrado, obtemos mais "b²/36". Por último, tem "(0 - (c/3))², que será "c²/9". Mas, para que tenhamos um denominador comum, "c²/9" é igual a mais "4c²/36". E podemos reescrever como a raiz quadrada de "a² + b² + 4c²" sobre 6. E podem ver que essa distância... se multiplicar essa distância em laranja por 1/2, obteremos... se multiplicar essa distância em laranja por 1/2, ou se dividir por 2, vai ter a distância em amarelo. Esta sempre será o dobro da distância dessa aqui porque fizemos de uma maneira bem geral, não pressupomos nada sobre esse triângulo. Lembre-se dessa pequena propriedade de que o baricentro, a intersecção das medianas... a intersecção ocorre 2/3 depois do vértice. Dá para usar essa propriedade em... provavelmente usaremos em muitos exercícios, mas, de todo modo, espero que tenham achado bem interessante. Até o próximo vídeo! Fui!