Análise das propriedades do triângulo

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo é rever todas as coisas legais e bizarras que aprendemos sobre triângulos. Então, primeiro, nós aprendemos, deixe eu desenhar um monte de triângulos para a gente, vamos ter um triângulo aqui. A primeira coisa que falamos foi sobre as mediatrizes dos lados dos triângulos. Se pegarmos, vamos pegar, vamos dividir esse lado aqui e desenhar uma reta perpendicular a ela, essa reta seria a mediatriz desse lado. Então, está atravessando, e é perpendicular, vamos desenhar outra mediatriz. Estamos aprendendo que esse é o ponto médio daquele lado. Vamos desenhar uma mediatriz, e esse comprimento é igual a esse comprimento. Em seguida, vamos fazer um aqui, esse é o ponto médio daquele lado, e, em seguida, vamos desenhar uma perpendicular, sabemos que esse comprimento é igual a esse comprimento, aqui, e o que aprendemos é que todas essas mediatrizes se cruzam. O que é interessante sobre isso, e, francamente, é que todas as coisas sobre as quais vamos falar nesse vídeo se cruzam em um único ponto, e esse único ponto é equidistante dos vértices desse triângulo. Então, essa distância será igual a essa distância, que vai ser igual a essa distância, e por ser equidistante dos vértices, pode desenhar um círculo daquele raio que atravessa os vértices, de modo que pode desenhar um círculo com esse raio que atravessa os vértices. E é por isso que chamamos isso aqui, esse ponto, essa intersecção das mediatrizes de "circuncentro". Deixe eu escrever para a gente manter o registro das coisas. Mediatrizes. Chamamos esse ponto, aqui, de nosso circuncentro, porque é o centro de nosso circuncirculo. Um círculo que pode ser circunscrito sobre esse triângulo, de modo que esse é o nosso circuncirculo. E o raio do circuncirculo é a distância entre o circuncentro e os vértices, é o "circunraio". Então, essas eram as mediatrizes. A próxima coisa que aprenderemos é a razão desse vídeo ter sido feito, que é certificarmos de que diferenciaremos essas coisas sem ficar muito confusos. Deixe eu desenhar outro triângulo aqui. A próxima coisa que pensamos é, bom, que tal se fôssemos dividir os ângulos? Não estamos falando de dividir um lado pela metade com uma mediatriz, mas, sim, estamos falando de dividir os próprios ângulos, de modo que possamos dividir esse ângulo, aqui, minha melhor tentativa de desenhá-lo. Então, esse ângulo será igual àquele ângulo, e que possamos dividir esse ângulo aqui. Poderemos dividir esse, eu poderia fazer uma versão melhor, né? Então, poderia dividí-lo assim. E, se estou dividindo, esse ângulo será igual àquele ângulo. Então, se eu dividir esse, a gente sabe que esse ângulo vai ser igual ao ângulo de lá. Mais uma vez, provamos que todos eles se intersectam em um único ponto, e esse ponto, em vez de ser equidistante dos vértices, esse ponto é equidistante dos lados do triângulo. Então, se você jogar uma perpendicular em cada um dos lados, essa distância vai ser igual àquela distância, que vai ser igual àquela distância. Por isso, podemos desenhar um círculo que é tangente ao lado que tenha esse raio, podemos desenhar um círculo, podemos desenhar um círculo que se pareça com isso. Chamamos esse círculo, porque está meio que dentro do triângulo, chamamos isso de "círculo inscrito", ou "incírculo", mas círculo inscrito é muito mais usado. E esse ponto podemos chamar, que é a intersecção dessas bissetrizes, podemos chamar de "incentro". Agora, outra coisa que aprendemos sobre bissetrizes. Então, deixe eu desenhar outro triângulo aqui. Deixe eu desenhar uma bissetriz. Vou dividir esse ângulo para que esse ângulo seja igual àquele ângulo, e deixe eu nomear alguns pontos aqui. Vamos dizer que isso é "A", esse é "B", esse é "C" e esse é "D". Aprendemos que, se AC é realmente a bissetriz do ângulo BAD, que a razão entre AB sobre BC será igual à razão de AD para DC. Às vezes, isso é chamado a "bissetriz". A próxima coisa que aprendemos foi, vamos desenhar outro triângulo aqui. Isso é para ser uma revisão completa de tudo que viemos estudando nos últimos vídeos. Então, deixe eu desenhar outro triângulo aqui. Agora, em vez de desenhar as mediatrizes, deixe eu nomear tudo, essas são bissetrizes. Agora vou pensar sobre as "medianas". As "mediatrizes" são segmentos que dividem os lados, e que são perpendiculares, mas não necessariamente passam pelos vértices. Quando falamos de medianas, estamos falando de pontos que dividem os lados no meio, mas passam pelos vértices e não são, necessariamente, perpendiculares. Vamos tirar algumas medianas aqui. Digamos que esse é o ponto médio daquele lado ali, para que possamos chamar a mediana assim, perceba que está indo através dos vértices, estes, não necessariamente, passam pelos vértices. Essa bem aqui não é necessariamente perpendicular, mas a gente sabe que esse comprimento é igual àquele ali, e traçamos mais um par de medianas bem aqui, de modo que esse, o ponto médio parece que está aqui. Então, esse comprimento é igual àquele comprimento. E note que vai pelo vértice, mas não é necessariamente perpendicular. Então, esse é um ponto médio, parece que ele está bem aqui. E uma vez mais, todos esses são concorrentes, todos se cruzam em um ponto bem aqui. Então, esse comprimento aqui é igual a esse comprimento. Tem um monte de coisas legais sobre medianas. Quando você desenha as três medidas assim, esse ponto único onde elas se cruzam, chamamos de "baricentro". E como já mencionei, pode aprender mais tarde em Física. Se fosse um triângulo uniforme, tivesse uma densidade uniforme, e se fosse jogá-lo ou girá-lo no ar, ele giraria ao redor de seu baricentro, que é basicamente o seu centro de massa, iria girar em torno dele como se estivesse voando pelo ar, como se tivesse algum tipo de rotação. Mas a coisa mais interessante sobre isso é que também divide esse triângulo em 6 triângulos de áreas iguais. Assim, esse triângulo tem a mesma área que aquele triângulo. Provamos isso em vários vídeos antes, cada um desses 6 triângulos, todos têm a mesma área. A outra coisa que aprendemos sobre medianas é que, onde o baricentro fica em cada uma das medianas, é dois terços do comprimento da mediana, de modo que a razão do lado desse comprimento é de dois para um, ou dois terços do comprimento da mediana: isso é dois terços da mediana, este é um terço da mediana. Então, a razão é dois para um. Outra coisa relacionada que aprendemos, não foi necessariamente sobre medianas, mas um conceito relacionado, foi a ideia de "triângulo medial". Um triângulo medial como esse, onde pega o ponto médio de cada lado, e desenha um triângulo que liga os pontos médios de cada lado, chamamos esse triângulo de um triângulo medial. E provamos que, quando desenhar um triângulo medial, ele separa esse triângulo em 4 triângulos que, não apenas têm a mesma área, mas também são triângulos congruentes. E não são apenas congruentes, mas mostramos que esse lado é paralelo a esse lado. É o que fazemos, usar mais algumas cores aqui, aquele lado é paralelo a esse lado, esse lado é paralelo a esse lado, e tem esse lado, que é paralelo esse lado aqui. E esse comprimento corresponde à metade daquele comprimento. Realmente isso ocorre porque esses 4 triângulos são congruentes. Há uma última coisa que abordamos, que é desenhar alturas de um triângulo. Para que haja medianas, triângulos mediais, bem, vou desenhar o último triângulo aqui. Aqui, eu vou traçar uma perpendicular a partir de cada um dos vértices, sem ir para o ponto médio, simplesmente traçando uma perpendicular ao outro lado. Vou traçar uma perpendicular, mas isso não está necessariamente dividindo o outro lado. De novo, vamos traçar uma perpendicular, mas não necessariamente dividindo o outro lado no meio. Em seguida, traçar uma perpendicular, mas não necessariamente dividindo o outro lado. E também provamos que estas são as alturas do triângulo, e elas também se cruzam em um único ponto. E quero ser claro: esse único ponto não tem necessariamente que estar dentro do triângulo. A mesma coisa é verdadeira com as mediatrizes: o ponto que elas se cruzam poderia estar fora do triângulo. Este único ponto chamamos de "ortocentro". Espero que isso seja útil, porque eu sei que pode ser confuso. Você sabe como um baricentro difere de um circuncentro, que é diferente de um ortocentro, e todos são diferentes de um incentro, ou qualquer desse tipo de coisa. Por isso, eu espero que isso esclareça as coisas um pouco.