Radianos como razão entre comprimento de arco e raio

RKA10G – Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. E neste vídeo, vamos pensar um pouco sobre uma maneira de medir ângulos. E um detalhe interessante é que existem várias formas diferentes de fazer isso. Por exemplo, você já deve ter me visto ou alguma outra pessoa falando em outros vídeos sobre coisas como graus, não foi? Essa é uma forma de medir ângulos. Mas neste vídeo, vou apresentar um novo conceito. Talvez você até já conheça esse conceito ou uma outra maneira de abordar esse conceito. Mas mesmo que já conheça, é sempre bom aprimorar os conhecimentos. Então, vamos observar aqui. Tenho este ângulo ABC e queremos pensar sobre uma maneira de descobrir uma medida do ângulo ABC. Uma forma de pensar sobre isso seria que este ângulo subentende algum arco. Nesse caso ele subentende o arco AC. E podemos ver que se esse ângulo fosse menor, se sua medida fosse menor, ele ia subentender um arco menor. O comprimento desse arco seria menor nesse caso. E se esse ângulo fosse maior ou se tivesse uma medida maior, se fosse algo assim, o comprimento do arco seria maior. Então, devemos medir a medida de um ângulo como sendo igual ao comprimento do arco que ele subentende? Essa é uma boa medida? Bem, você pode ver imediatamente um problema porque este arco, o comprimento do arco que é subentendido, não depende apenas do ângulo, da medida do ângulo. O arco também depende do quão grande é o círculo com o qual você está lidando. Se o raio for maior, você vai ter um comprimento de arco maior. Por exemplo, deixe-me colocar outro círculo aqui. Temos a mesma medida de ângulo e você pode dizer que o ângulo ABC ainda é o mesmo. Mas agora ele subentende um arco diferente nestes dois círculos diferentes. Você tem este arco bem aqui, vamos chamar este arco de DE. E o comprimento do arco DE não é igual ao comprimento de AC, e sabendo disso chegamos à conclusão que não podemos medir um ângulo apenas pelo comprimento do arco que ele subentende. Portanto, podemos nos livrar dessa igualdade. Então, o que poderíamos fazer? Bem, você pode perceber que esses dois π que acabei de criar você poderia dizer que πABC e πDBE são π semelhantes. Mas o que significa ser semelhante? Bem, você tem semelhança, se pode mapear uma coisa para outra, uma forma para outra, por meio não apenas de transformações rígidas, mas também por meio de dilatações. E nessa situação, se você pegar πABC e apenas aumentar por um fator de escala maior que 1, vai ter um fator de escala em que você pode aumentar πABC para πDBE. E o que é interessante nisso é que se duas coisas são semelhantes, isso significa que as proporções entre as partes correspondentes vão ser as mesmas. Por exemplo, a proporção entre o comprimento do arco AC e o comprimento do arco BC vai ser igual à proporção entre o comprimento do arco DE e o comprimento do segmento BE. E pensando nisso, talvez essa seja uma boa medida para um ângulo. E é, de fato, uma medida que usamos em geometria, em trigonometria e em toda a matemática. E chamamos essa medida de um ângulo de radiano. Mas o que é o radiano? O radiano é igual à proporção do comprimento do arco subentendido por esse ângulo com o raio. E acabamos de ver isso nessas duas situações. Então, vamos ver se podemos fazer isso de uma forma um pouquinho mais tangível, uma forma que a gente consiga compreender um pouco melhor. Vamos dizer que tenho um círculo e aqui tenho um ponto central. Vamos apenas chamar este ponto de… não sei, vou colocar “F”. Vamos criar um ângulo, e que tal fazer um ângulo reto? E vamos chamar este ponto de “G” e chamar este ponto de “H”. E vamos dizer que este raio mede 2 metros. Agora qual é o comprimento do arco subentendido pelo ângulo GFH? Bem, isso é 1/4 da circunferência de todo este círculo que desenhei, certo? Vamos escrever o seguinte então: que a circunferência vai ser igual a 2π vezes o raio. Como o raio é igual a 2, temos que isso é igual a 2π vezes 2 metros, que é igual a 4π metros. Como o comprimento do arco é 1/4 disso, temos que o arco vai ser igual a π metros. Então, com base no comprimento deste arco e este raio, qual vai ser a medida do ângulo GFH em radianos? Bem, podemos dizer que a medida do ângulo GFH em radianos vai ser a proporção entre o comprimento do arco subentendido e o raio, então, vai ser π metros sobre 2 metros. As unidades de metro vão se cancelar. E teremos apenas que isso é igual a π sobre 2. Mas é π sobre 2 o quê? Bem, vamos chamar de radianos. Temos π sobre 2 radianos. Agora uma coisa para pensar é: Por que chamamos isso de radianos? Radiano lembra a palavra "raio", não é? Uma forma de pensar sobre isso é que quando você divide esse comprimento pelo comprimento do raio, você está descobrindo o quanto dos raios é equivalente ao comprimento do arco em questão. Por exemplo, nessa situação, um raio seria algo assim. Se você pegar o mesmo comprimento e colocar aqui, temos uma medida do raio. E é por isso que você também pode dizer que são radianos. Se você pegou π sobre 2, vai ter algo um pouco maior que apenas o raio, talvez 1,6 do raio ou algo próximo a isso. Enfim, conseguiu compreender, meu amigo ou minha amiga? Espero que sim. E mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!