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Curso: Geometria intermediária > Unidade 8
Lição 9: Demonstrações com formas inscritasDemonstração: triângulos retângulos inscritos em circunferências
Demonstração de que um triângulo inscrito em uma circunferência, sendo o diâmetro um lado do triângulo, é um triângulo retângulo. Versão original criada por Sal Khan.
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Não poderíamos demonstrar de uma forma mais simplificada?
Dado que ângulo central/2 = ângulo inscrito
O ângulo do diâmetro (180°) é o ângulo central que subtende o arco representado por metade da circunferência.
Traçando um triângulo com o diâmetro sendo um dos lados, automaticamente formaríamos um ângulo inscrito que também subtende o mesmo arco do angulo do diametro.
Dessa forma, esse ângulo inscrito seria a metade de 180° (90°), ou seja, um ângulo reto.(1 voto)
O ângulo desenhado para demonstração parece ter sido a perpendicular baixada desde o ângulo reto, de acordo com o desenho, formando um caso particular. Não teria sido mais claro se o triângulo não parecesse tanto esse caso especial, isto é, se o raio não coincidisse com a altura?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Digamos que eu tenha um círculo e, então, temos o diâmetro do círculo... (deixa eu desenhar melhor o diâmetro)... É, está bastante bom! Aqui está o diâmetro do círculo (esse é o diâmetro). Digamos que tenho um triângulo no qual o diâmetro é um lado do triângulo e o ângulo oposto a esse lado (seu vértice) está em algum lugar da circunferência. Então, o ângulo ou o ângulo oposto desse diâmetro está nessa circunferência, portanto o triângulo tem essa forma, o triângulo se parece com isso. O que vou te mostrar nesse vídeo é que esse triângulo será um triângulo retângulo. O lado dos 90 graus será o lado que está oposto ao diâmetro (eu não quero dar um nome ainda porque isso tiraria a graça da prova). Agora, vejamos o que podemos fazer para mostrar isso. Já estamos cientes da relação entre um ângulo inscrito e um ângulo central que enxergam o mesmo arco, então, vamos conferir isso. Digamos que esse é um ângulo inscrito aqui; vamos chamar esse de ϴ (teta). Agora, digamos que esse é o centro do meu círculo aqui. Esse ângulo seria um ângulo central... (deixa eu desenhar outro triângulo, outra reta aqui)... esse aqui é um ângulo central, esse aqui é o raio, esse é o mesmo raio (na verdade, essa distância é a mesma). Mas já aprendemos há alguns vídeos que esse ângulo (esse ângulo inscrito) enxerga esse arco aqui. O ângulo central que enxerga o mesmo arco será o dobro desse ângulo. Já provamos isso em uns vídeos atrás. Então, isso será 2ϴ; é o arco central que enxerga o mesmo arco. Agora, esse triângulo aqui (esse bem aqui) é um triângulo isósceles. Eu poderia girá-lo e desenhá-lo dessa forma. Se eu girasse, iria ficar assim: o lado verde estaria para baixo, dessa forma, e os dois lados têm o comprimento "r". Esse ângulo superior é 2ϴ. Tudo o que fiz foi pegar e girar o triângulo para desenhá-lo dessa forma, esse lado é igual aquele lado ali. Já que seus dois lados são iguais (esse é isóceles), então os ângulos da base devem ser o mesmo. Esse e esse deverão ser o mesmo. Ou, se tivesse que desenhar aqui, esse e esse deverão ser exatamente o mesmo ângulo da base. Terão o mesmo valor. Agora, deixa eu ver, eu já usei ϴ, talvez eu use "x" para esses ângulos. Então, esse precisa ser "x" e esse precisa ser "x". "x" será igual a quanto? Bom, "x + x + 2ϴ" é igual a 180 graus. Eles estão todos no mesmo triângulo, então deixa eu escrever isso... Temos "x + x + 2ϴ = 180º", ou temos "2x + 2ϴ = 180º", ou temos "2x = 180º - 2ϴ". Divida os dois lados por 2, você tem "x = 90º - ϴ". Portanto, "x = 90º - ϴ". Agora, vejamos o que mais dá para fazer com isso. Poderíamos olhar para esse triângulo aqui (esse triângulo) esse lado aqui também tem essa distância aqui, que também é o raio do círculo. Essa distância aqui que já demos nome é o raio do círculo. De novo, tudo isso é um triângulo isósceles, esses lados são iguais, então esses dois ângulos da base precisam ser iguais. Então, se isso é ϴ, isso também será igual a ϴ. Na verdade, usamos essa informação para (na verdade) mostrar o primeiro resultado sobre os ângulos inscritos, e a relação entre eles e os ângulos centrais que enxergam o mesmo arco. Então, se isso é ϴ, isso é ϴ, porque esse é um triângulo isósceles; quanto é esse ângulo aqui? Deverá ser "ϴ + 90 - ϴ". Esse ângulo, aqui, será igual a "ϴ + 90º - ϴ". Os ϴ vão se cancelar, portanto não importa, desde que um lado do meu triângulo seja o diâmetro e então o ângulo ou o vértice do ângulo oposto fique em oposição a esse lado, fique sobre a circunferência, então, esse ângulo aqui será um ângulo reto e esse será um triângulo retângulo. Portanto, se eu desenhasse algo aleatório, mais ou menos assim... se eu pegasse um ponto ali desse jeito e desenhasse dessa forma.... este é um triângulo retângulo. Se desenhasse algo daquele jeito e retirasse assim, esse é um ângulo reto. Para qualquer um desses eu poderia fazer exatamente a mesma prova. De fato, o jeito no qual eu desenhei aqui, fiz de um jeito bem genérico para que pudesse se aplicar a qualquer um desses triângulos.