Exemplo solucionado: equações de modelo logístico

RKA3JV - No vídeo passado, nós começamos a fazer o modelo populacional, usando a ideia de uma equação diferencial. Inclusive, nós chegamos a ver uma equação para o crescimento populacional. Em que, por exemplo, a gente tinha esta equação diferencial aqui. dN/dt, em que "N" representa o número populacional, "r" seria a nossa taxa de crescimento, e "k" corresponde ao número populacional máximo. Este número máximo depende de vários fatores. Por exemplo, fatores climáticos, fatores econômicos, fatores legislativos, recursos como água e comida. Enfim, uma série de fatores que podem implicar neste número máximo populacional. Resolvendo toda essa expressão, a gente conseguiu obter uma função para o número populacional em relação ao tempo. O número de indivíduos dentro de uma população em relação ao tempo. Ou seja, depois de um certo tempo, é igual a N₀, em que N₀ corresponde ao número inicial de indivíduos dentro daquela população, vezes "k". Como eu já falei, "k" corresponde ao número máximo de indivíduos dentro da população sobre N₀, mais a diferença entre o número máximo e mínimo de indivíduos dentro da população. Então, a gente vai ter aqui k - N₀ vezes "e" elevado a "-r". E como eu já falei, este "r" corresponde a uma taxa de variação. Uma taxa de variação temporal, que é um fator que vai multiplicar aqui na frente. Vezes "t". Bem, estas equações são equações lógicas, tudo bem? Então, é um comportamento aqui, neste caso, bem logístico. Estas expressões, tanto a equação diferencial, quanto esta função aqui, são expressões lógicas. Beleza, tudo bem! Mas depois daquele longo trabalho para chegar e esta expressão é interessante a gente começar a aplicar isso a alguma coisa. E para a gente tomar isso aqui como exemplo, vamos imaginar que a gente tenha uma ilha, em que nessa ilha a gente tenha um número inicial de indivíduos igual a 100. Então, o número inicial de indivíduos aqui nesta ilha vai ser igual a 100. E que esta ilha consegue suportar, no máximo, um número é igual a 1000 indivíduos. Então, nosso número "k" vai ser igual a 1000. Mas por que 1000 indivíduos? Como eu já falei, este número máximo depende de vários fatores, incluindo fatores climáticos e ambientais, recursos de alimento e água, dentre outras coisas. A partir dessas ideias vamos começar a fazer algumas estimativas. Vamos supor que cada geração dure 20 anos. Então, cada geração vai ter 20 anos. E que após 20 anos, essa população aumentou em 50%. Então, aumentou 50%. Se ela aumentou 50%, inicialmente, a gente tinha 100 e depois de 20 anos foi para 150. O nosso primeiro objetivo aqui é encontrar o fator "r". Como nós podemos encontrar este fator "r", esta taxa de crescimento aqui? Vamos utilizar a calculadora para fazer isso. A gente vai colocar aqui 1,5. Por que 1,5? Porque como a população aumentou 50%, após 20 anos, significa que a gente vai ter um número 1,5 vezes maior que o número inicial da população. Ou seja, 1,5 vezes 100. Por isso, a gente usa este 1,5. 1,5 elevado a 1/20. Já que 20 é o número de anos. Isso, basicamente, vai dar a minha taxa de crescimento aqui. Ou seja, vai me dizer como essa população está crescendo. Nós chegamos aqui a um valor igual a 1,0204. Ok, uma maneira de pensar nisso aqui é que a gente vai ter essa população crescendo em um fator igual a 0,020. Deixe-me arredondar este último termo para 5. 5 a cada ano. Ou seja, por mais que cada geração dure 20 anos, está sempre surgindo indivíduos novos. De forma que, em 20 anos a população vai ter aumentado 50% e, então, este fator indica, essencialmente, o quanto da população que vai crescer a cada ano. Então, deixe-me escrever isso aqui, inclusive. Isso aqui indica a taxa de crescimento por ano. Isso no nosso exemplo, tá? Inclusive, é até interessante a gente colocar uma informação aqui. Que para esta função aplicada a este exemplo, este "t" aqui está medido em anos. Então, a gente tem o "t" medido em anos. Agora, sim, a gente já pode pegar todas essas informações e substituir aqui nesta expressão. A gente vai ter que o número de indivíduos, depois de um certo tempo "t", vai ser igual a N₀. Em que N₀ é o número de indivíduos inicial, no caso é 100, vezes o número de indivíduos máximo que pode ter aqui nessa população que, neste caso, é 1000 dividido pelo número inicial. Ou seja, 100 + 1000 - 100, que vai ser igual a 900. Então, a gente vai ter aqui 900 vezes "e" elevado a -0,0205 vezes "t". Então, já temos aqui a nossa expressão que modela o número de indivíduos aqui nesta ilha ao longo do tempo. Bem, deixe-me plotar agora o gráfico desta função para a gente ter uma ideia de como é o crescimento populacional aqui destes indivíduos nesta ilha. Ok, aqui nós temos um gráfico que descreve este crescimento populacional. Perceba que, inicialmente, aqui no tempo zero, a gente tem uma população inicial igual a 100. À medida que o tempo vai passando, a população está aumentando. Só que ela não vai aumentar infinitamente, ela vai aumentar até chegar a esta população máxima aqui. Na verdade, ela nunca nem vai chegar este número máximo. Ela só vai tender a este número. A gente tem, de fato, uma assíntota aqui neste ponto. Então, a função vai tender a este ponto aqui. Mas, daqui a pouco, eu falo um pouco melhor a respeito disso. Vamos observar que, inicialmente, a gente tem 100, certo? Cada intervalo disso aqui representa 10 anos aqui em nossa escala. Como nós vimos, 20 anos depois, ou seja, aqui a nossa população aumentou 50%. Então, se antes a gente tinha 100, agora a gente vai ter 150. Caso fosse um aumento exponencial comum, a gente teria um valor um pouco acima deste ponto. No entanto, uma parte do número de indivíduos inicial não existe mais aqui neste tempo. A gente sabe que quando a gente analisa um crescimento populacional, pessoas ou indivíduos acabam morrendo. Então, isso acaba diminuindo um pouco o número de indivíduos aqui, no final de um certo tempo considerado. Observando 40 anos depois, a gente tem 200 indivíduos aqui nesta ilha. Novamente, se fosse um crescimento exponencial comum, a gente teria um número ainda maior. E à medida que o tempo vai passando, o número de indivíduos vai se tornando cada vez maior, maior e maior. Mas, depois, isso vai ficando cada vez mais lento. Por exemplo, se a gente fosse analisar 210 anos depois, a gente teria o número de indivíduos igual a 900. Inclusive, se a gente derivar a função, a gente ia encontrar uma reta tangente deste jeito. Esta inclinação, desta reta tangente vai ficando cada vez menor, menor e menor, até chegar neste ponto em que a gente tem 1000 pessoas, em que a inclinação vai ser igual a zero. Ou seja, a nossa taxa de crescimento vai zerar. Um detalhe, isso aqui é uma taxa de crescimento em relação a este crescimento populacional, tudo bem? Como eu já disse, enquanto uns indivíduos surgem, outros deixam de existir. E a relação entre indivíduos novos e indivíduos que deixaram de existir é descrita por esta taxa de crescimento. Quando a gente chega aqui nessa população máxima que, na verdade, a gente nem vai chegar, a gente vai ter essa assíntota aqui e que isso indica o número máximo de indivíduos que pode ter nesta população. Diga-se de passagem, para descrever esse crescimento populacional, nós estamos utilizando a ideia de Malthus. O malthusianismo diz que a população vai crescer até chegar a um certo ponto em que ela não pode crescer mais. E é essa ideia que foi utilizada para descrever este crescimento populacional. Por isso, que existe este limite. Mas, a gente pode alterar este limite, nada impede que isso aconteça. A gente pode aumentar este limite cada vez mais. A gente pode levá-lo para cima. E se a gente analisar a história da humanidade, a gente pode perceber que isso já aconteceu diversas vezes. Quando Malthus propôs a sua ideia, ele disse que no máximo a população teria 1 bilhão ou 2 bilhões de pessoas. A população humana. E hoje a gente chegou a 7 bilhões. Ou seja, bem acima daquilo que Malthus propôs. Isso se deve, claro, ao desenvolvimento de tecnologias, ao desenvolvimento de novas formas de controlar e até de erradicar certas doenças. Enfim, existe uma série de fatores que fizeram com que este número populacional máximo do ser humano, ou seja, este limite, aumentasse. Hoje a gente não consegue nem imaginar um planeta com 20 bilhões de habitantes. Mas, quem sabe daqui um tempo, devido ao desenvolvimento de novas tecnologias, isso seja possível. Tudo bem que isso pode até não ser uma coisa muito boa, mas existe essa possibilidade.