Exemplos de mínimos quadrados

RKA1JV - Eu tenho, aqui, três retas e quero achar a intersecção entre essas três retas. Para começar, eu vou isolar o "y" em cada uma delas e depois vou representá-las graficamente. Nesta primeira aqui, nós teríamos -y igual a 2, menos 2x, multiplicando os dois lados por -1, ficaríamos com "y" igual a "2x - 2". Na segunda reta, x + 2y = 1, isolando o "y" primeiro, "passando o 'x' para o lado de lá", ficaríamos com 2y = 1 - x. Dividindo todos por 2, nós ficaremos com "y" igual a -x/2 + 1/2. E para a terceira, subtrair "x" dos dois lados, "passar o 'x' para o outro lado", ficaríamos com y = -x + 4. Tenho aqui os eixos, já fiz à mão livre as marcas. Vamos começar pela primeira: y = 2x - 2, o -2 aqui no termo independente significa que no eixo "y", a reta passa pelo ponto (0, -2). E o fato do "x" estar multiplicado por 2 quer dizer que a cada unidade que variamos o "x", o "y" varia duas unidades. Aqui, por exemplo, se eu avançar aqui, estava com "x" igual a zero. Se eu avançar uma unidade, o "y" vai aumentar duas, então, ele vai para o zero. Ela passa por estes dois pontos, e eu posso traçar uma reta aqui. Claro, a reta é infinita. A segunda reta agora y = -x/2 + 1/2. Então, ela cruza o eixo "y" no meio positivo, aqui é o meio positivo. E a cada unidade que avanço em "x", o "y" avança 1/2 negativo, diminui 1/2. Eu estava aqui com "x" igual a zero, se eu avanço uma unidade no "x", o "y" avança meia unidade para baixo. Como estava no -1/2, então, ele vai acabar passando por aqui também. E eu tenho esta situação. Finalmente, a terceira reta, y = -x + 4, então, ela passa no 1, 2, 3, 4 do eixo "y". E, a cada vez que avanço 1 no "x", "y" diminui 1 porque estou multiplicando aqui por -1. Eu teria, por exemplo, aqui estou no zero, se eu avançar 1, eu diminuo 1 no "y", eu vou passar por aqui e aqui eu teria a reta. E o que eu quero, agora, é encontrar a intersecção dessas três retas. O problema é que ao procurar esta intersecção, eu não vou encontrá-la. Porque, olhando ali no gráfico, o único ponto pelo qual as três retas passem não existe, não há solução desta forma. O que nós vamos fazer é procurar, pelo método dos mínimos quadrados, o que mais se aproxima dessa solução. Em outras palavras, nós estamos buscando a solução deste sistema de três equações, mas que tem apenas duas incógnitas. Este é um sistema para o qual nós não vamos encontrar solução. O que indica que não vamos encontrar um único ponto que seja intersecção das três retas. Eu vou reescrever este sistema usando a notação matricial. Nós teríamos aqui, na primeira matriz, os coeficientes de "x" e "y", já que estão prontos aqui na ordem. Então, 2x - 1y na primeira equação. Na segunda, 1x + 2y. Na terceira, 1x + 1y. Esta matriz multiplicando a matriz das incógnitas que é xy, este vetor tem que ser igual à matriz que tem o 2, 1 e 4 aqui. Os termos independentes 1 e 4. Você pode tentar procurar a solução disso aqui, você não vai encontrar, você vai chegar numa situação como zero igual a 1. Uma situação incompatível denunciando que nós não vamos ter a solução para esse sistema. Escrevendo aqui da maneira tradicional, esta matriz vamos chamar de "A" que, multiplicando esse vetor aqui, que indicamos por "x", que é onde estão as incógnitas, tem que ser igual ao vetor "b". Que é este outro que está aqui. E este é um sistema que não tem solução como visto em vídeo anterior. Mas podemos achar a solução por meio do método dos mínimos quadrados que é, na verdade, uma solução que mais se aproxima daquilo que estamos procurando. Para isso, nós reescrevemos esta equação multiplicando os dois lados por "A" transposta, pela transposta da matriz "A". Teremos aqui "A" transposta multiplicando "A", multiplicando pelo vetor "x", igual a "A" transposta multiplicando o vetor "b". Mas nós vamos indicar o vetor "x" por x* indicando que é solução pelo método dos mínimos quadrados. Ou seja, uma aproximação daquilo que estamos procurando. Vamos começar escrevendo o que é "A" transposta multiplicada por "A". Vou fazer aqui ao lado. "A" transposta toma a matriz A e troca as linhas pelas colunas. A primeira coluna é 2 e 1, isto vai se transformar na primeira linha 2,1 e 1. A segunda coluna é -1, 2, 1 e aqui nós teremos na segunda linha -1, 2, 1. Isso é "A" transposta que nós vamos multiplicar pela própria matriz "A" e aqui nós vamos fazer a multiplicação de matrizes. Lembrando que, se a primeira tem duas linhas, e a segunda duas colunas, o resultado vai ser uma matriz 2 por 2, o número de linhas da primeira, número de colunas da segunda. E nós vamos multiplicar a primeira linha com a primeira coluna. Lembrando que eu multiplico primeiro elemento por primeiro elemento, segundo por segundo e terceiro por terceiro e somo tudo, ou seja, 2 vezes 2, 4. 1 vezes 1, 1 4 mais 1, mais 1, dá 6. Então dali, nós temos 6. Primeira linha, primeira coluna. Agora, primeira linha, segunda coluna, vamos multiplicar aqui, 2 vezes -1, é -2, 1 vezes 2 é 2, que somando dá zero e o 1 vezes 1 é 1. Nós temos aqui 1; Agora, para a segunda linha, tudo de novo. Segunda linha, primeira coluna -1 vezes 2 é -2, 2 vezes 1 é 2, somando zero, 1 vezes 1, 1. Percebeu uma certa simetria aqui? A segunda linha e a segunda coluna, nós vamos ter -1 vezes -1 dá 1. 2 vezes 2, 4, 1 vezes 1, 1, somando tudo 6. Isso que acabo de escrever aqui, então, é o resultado da "A" transposta multiplicada pela própria matriz "A". E agora vamos ter que procurar saber o que é "A" transposta vezes "b", que é este trecho da igualdade aqui. "A" transposta está aqui, eu simplesmente copiei e agora vou usar o vetor "b". Nessa multiplicação, então, nós vamos ter duas linhas porque a primeira matriz tem duas linhas. E uma coluna porque a segunda matriz tem uma coluna. Tomando a primeira linha aqui multiplicando por todos os elementos da primeira e única coluna da segunda matriz, nós vamos ter 2 vezes 2, 4, 1 vezes 1, 1 1 vezes 4, 4. Somando tudo, nós vamos ter, para o primeiro elemento aqui, o 9. Para o segundo elemento, -1, 2, 1, vamos multiplicar -1 vezes 2, é -2. 2 vezes 1 é 2, somando já vai dar zero e 1 vezes 4, é 4, é o que temos aqui. Este é o resultado de "A" transporta multiplicando o vetor "b". Vamos, agora, voltar para cá, então. Vamos trocar "A" transposta vezes "A", pela correspondente, que é esta matriz. E "A" transposta vezes "b" por este vetor. Temos aqui "A" transposta vezes "A" que multiplica o x* igual a "A" transposta vezes "b" que é o que temos aqui. Vamos agora resolver este novo sistema. Então vamos poder continuar, estaremos mais próximos de alcançar uma solução que se aproxima da intersecção daquelas três retas. Primeiro, eu vou trocar o vetor x* pela sua representação matricial que contém as incógnitas x* e y*. E a partir de agora é pura álgebra, tem muitas formas de você desenvolver esse sistema. Eu vou escrever na notação mais comum e partir para a resolução. Vamos lá, vamos multiplicar as matrizes, o 6, e 1pelo x* e y*, eu vou ter 6x* mais 1y* igual a 9 que está aqui. Depois, a segunda linha, que me daria 1x* mais 6y* igual a 4 que é o resultado da linha de baixo. Este é sistema que eu tenho que resolver, um sistema bastante simples. Eu vou começar resolvendo, eliminando o "y", para isso, eu vou multiplicar a linha de cima por -6. E adicionar a linha de baixo que nós vamos ter -36x* mais 1x*, fica -35x*. -6y* +6y*, cancela, que era justamente o que nós queríamos. E 9 vezes - 6, - 54 mais 4, vai nos dar -50. Divido os dois lados por 35 negativo, eu vou ter x* igual 50 por 35. Naturalmente, simplificando o x* vai ser igual a 10/7. Cuidado, esse é o valor da incógnita x*, não é o vetor x* naturalmente. Agora vou fazer parecido, esquecendo tudo isso que foi feito em verde, eu vou pensar e multiplicar a equação de baixo por -6. E adicionar a de cima, obtendo uma nova equação, porque vai cancelar o x*. Nós ficaríamos, então, com -6 vezes x* menos 6x*, que cancela com esse aqui. -6 vezes 6y* dá -36y*, com mais 1, -35y* igual a -6 vezes 4, 24 negativo com 9, -15. Agora dividindo por -35, nós temos 15 sobre 35 para o y*. E finalmente, simplificando, dividindo por 5, nós vamos ter 3/7, esse é o valor do y*. Em outras palavras, x* pode ser reescrito com 10/7 para x* e 3/7 para o y*. Ou seja, se nós usarmos 3/7 para o "y", e 10/7 para o valor de "x", no plano cartesiano, nós vamos encontrar o ponto mais próximo possível da solução buscada. Ou seja, a intersecção das três retas que não existe. Nós estamos obtendo algo que esteja o mais próximo possível, usando, neste momento, o método dos mínimos quadrados. Visualmente, no gráfico, nós vamos ter "x" é 10/7 e o "y" 3/7. Vamos aproveitar para escrever aqui. O vetor x* é [10/7, 3/7]. Vamos localizar este ponto com essas coordenadas aqui, 10/7 é um pouco maior do que 1, estaria talvez por aqui. 3/7, o "y" é um pouco menos que 1/2, estaria um pouco abaixo aqui desta marca. Localizando, nós teríamos um ponto, por exemplo, aqui. Este ponto é aquele cuja somatória das distâncias dele até as três retas elevadas ao quadrado é a menor possível. É a solução que minimiza os quadrados das distâncias dele até as retas, é a solução mais próxima de acordo com esse critério, com a intersecção das três retas em estudo. E qual é essa diferença mínima que nós estamos encontrando aqui? Vamos recordar algo. Ao utilizar este método, nós estamos encontrando a menor diferença, a menor distância entre o Ax* e o "b" ou entre o "b" e o Ax*, mas o que é o Ax*? Vamos reescrever. "A" é exatamente esta matriz que temos aqui e o x* é este que temos aqui. Vamos escrever ali em baixo, aqui temos a matriz "A", que vamos multiplicar pelo vetor x*, que é este aqui. Temos aqui a matriz "A" para multiplicar o vetor x* e nós vamos efetuar esta multiplicação. Vamos ter no resultado uma coluna por causa da segunda matriz e 3 linhas por causa da primeira. Vamos multiplicar o 2 pelo 10/7, dá 20/7 e o -1 pelo 3/7, -3/7. Juntando, temos 17/7, adicionando claro. Na segunda linha, 1 vezes 10/7, dá 10/7 mais 6/7 da multiplicação por 2, dá 16/7. Na terceira linha, 1 vezes 10/7, 1 vezes 3/7, se juntando, temos 13/7. E isto que obtivemos aqui é "A" multiplicado pelo x*. Vamos voltar ali abaixo onde temos a norma de Ax* menos "b". Estamos falando Ax*, é esta matriz, este vetor 17/7, 16/7, 13/7, isso é o Ax* menos o vetor original "b". O vetor original "b" é o que nós já tínhamos aqui, é este aqui, é o 2, 1, 4 que está aqui. Vamos colocá-lo lá. Aqui está 2, 1, 4. Nós estamos achando a diferença entre eles e depois a norma disso. Queremos isto aqui, então, vamos lá. Para efetuar esta subtração, subtraímos termo a termo aqui, elemento a elemento das duas matrizes. Então nós estamos falando da norma 17/7 menos 2, lembre-se que 2 são 14/7, então 17/7 menos 14/7, nos restam 3/7. 16/7 menos 1 inteiro são 7/7, então, temos aqui 9/7. Finalmente, 13/7 menos 28/7, vamos ter -15/7. E nós temos que achar a norma deste vetor. Para achar a norma, nós sabemos que devemos elevar ao quadrado todos os componentes, adicioná-los e extrair a raiz quadrada. Vamos por partes, elevando ao quadrado cada elemento, 3/7², dá 9/49, mais 9/7², dá 81/49. Mais -15/7², fica positivo, 225/49. nós temos que extrair a raiz quadrada de tudo isso aqui. Adicionando os numeradores, nós vamos ter ter 315 sobre 49 e, naturalmente, a raiz quadrada disto aqui. Raiz quadrada de 49 é 7, e a raiz quadrada de 315 não é um número inteiro, mas pode ser simplificado. Isto é igual a 3 vezes a raiz quadrada de 35. Em outras palavras, resumindo tudo aqui, então, a norma de Ax* menos "b" é 3 raiz quadrada de 35 sobre 7. E esta medida, este número 3 raiz de 35 sobre 7 indica que você não vai encontrar nenhum número para "x", nenhum valor "x" e para "y". Que faça com que a distância entre a solução real do que você tinha e a solução com a qual nós trabalhamos aqui seja menor que ele. É a mínima distância que nós conseguimos para o que nós estamos fazendo, usando o método dos mínimos quadrados e os elementos envolvidos. Pensando, claro, que nós queremos a intersecção entre as retas, o único ponto nos quais ou no qual as três retas se cruzassem. De modo que nós podemos concluir que este ponto aqui, este ponto aqui com as coordenadas 10/7 para o "x", 3/7 para o "y" é a melhor estimativa que nós temos usando um método dos mínimos quadrados para ficar próximo da "intersecção" destas três retas. Espero que você tenha visto utilidade nisso e observe que este método é bastante útil e vai aparecer mais adiante. Até o próximo vídeo!