Exemplos de produto de matriz

no último vídeo nós vimos uma aplicação para a multiplicação de matrizes nesse vou lhe mostrar como essa multiplicação é simples digamos que temos a matriz a adi dimensões m por nenê e também a matriz b cujas dimensões pouco diferentes são n por cá lembrando sempre que o primeiro número é o número de linhas a e sempre o segundo número 1 número de colunas hoje quero mostrar você é como fazer essa multiplicação mostrar como isso é simples a motivação tivemos no último vídeo foi o mario criar uma matriz de transformação composta é com essa multiplicação é foi um vídeo bastante abstrato hoje nós vamos trabalhar valores numéricos você vai ver que isso é muito simples veja só antes de fazer a multiplicação a matriz a pela matriz b vamos definir a matriz b da seguinte forma como os pêlos seus vetores b1 que representa a primeira coluna de b1 e b2 e assim por diante b3 b4 b5 ele tem k colunas primeira coluna segunda e aqui seria a esquisito falar caesb uma é o bk que é a última tão coluna da matriz b essa multiplicação ficará então assim matriz a vezes a primeira coluna db então que chamamos de b1 lembrando que é um vetor seguida segunda coluna da matriz a b será a vezes você já adivinhou que é por b2 cima dá mais trabalho escrever o que pensar na verdade a esses b3 será então a terceira coluna da matriz produto na matriz de multiplicação a vezes b 3 e assim por diante não ia ficar muito chato até a última última coluna da nossa matriz que vai ser a vezes bk que a gente fecha aqui então a multiplicação de a vezes b antes de prosseguir que é lembrar que no último vídeo nós fizemos uma multiplicação entre duas matrizes para criar uma matriz de transformação linear ou seja para facilitar nosso trabalho em uma atividade de álgebra linear essa foi nossa motivação para esse trabalho de multiplicação de matrizes aquele vídeo talvez você tenha achado complicado pois foi um trabalho algébricos mas agora vou mostrar como isso é simples vamos escrever aqui a princípio a matriz a primeira linha dela é 11 - 1 e 2 digamos segunda linha vamos lá 0 - 2 e 11 números pequenos mas quando trabalhamos vamos tomar cuidado com sinais o que isso sempre acaba complicando a matriz b e digamos que sua primeira linha seja vamos lá 101 e um outra vez matriz segunda linha da matriz de 2011 positivo e agora um negativo depois 310 e 2 todos os números positivos essa é a nossa matriz b é parte bem matriz a tem duas linhas sempre primeiro número de linhas depois o número de colunas são 32 por três ea matriz b é uma matriz de três linhas 3 linha então por quatro colunas matriz b três por quatro vamos tratar então do nosso a nossa multiplicação nosso produto de matrizes estão produto a b atriz' aves matriz b será conforme indicado acima veja só na mesma forma que fizemos aqui vamos multiplicar a matriz a pela primeira cobertor de um lembra é a primeira coluna da matriz b vamos desenhar akita que ama 3b primeira coluna 123 e vamos lá a segunda coluna a nossa matriz abema 13 multiplicação então vamos multiplicar novamente a agora pela segunda coluna matriz b 00 e 1 lá então segunda coluna db vamos produzir a terceira coluna da matriz produto matriz ab de a de novo vezes 110 mais trabalho escrever do que pensar na verdade você vai ver que isso é simples ok a nossa última coluna de a&b última coluna de a b é a que multiplica o vetor 1 - 1 e 2 que é a última coluna da matriz bem vamos fechar então o produto a bem antes de continuar é importante lembrar que para o nosso produto poder ser definido o número de colunas uma atriz a deve ser igual ao número de linhas da matriz b afinal o produto a b ficou definido por simplesmente como a multiplicação o produto entre a matriz e um vetor e para que isso possa ser definido é preciso que o número de colunas da matriz seja igual ao número de linhas seja igual a dimensão de cada vetor coluna vamos lembrar então que na matriz b os vetores a b1 b2 até bk vamos definir assim com vetores b&b e cada um deles bee é pertencente ao r 3 cada um dos vetores possui três dimensões vamos agora então o nosso produto a b mas você deve estar se perguntando como é que eu vou multiplicar matriz a o cada um desses vetores é bastante simples nós vamos multiplicar cada linha da atriz a cada linha é pelo por cada um dos vetores mas nós vamos fazer a transposição dessa linha transposição funciona assim na cada linha de aes em um vetor linha a se a linha de a é um vetor então com as seguintes dimensões 1 - 1 e 2 primeira linha da matriz a como será a transposição dessa linha então vamos colocar o mesmo vetor a transposto que será então já só é bastante simples basta trocar então que era linha virou coluna 1 - 1 e 2 vamos agora a nossa multiplicação que é trabalhosa mas muito simples só precisa é claro tomar cuidado pra não errar na quando transcrever os números e também nas contas que nós vamos fazer não serão poucas agora está em dia isso é importante vamos então a começar aqui escrevendo a primeira coluna primeira linha de ar como um vetor coluna o vetor coluna já só primeira linha de ar como um vetor coluna está aqui 1 - 1 e 2 esse vetor então faremos é um produto e escalar escalar pelo primeiro a coluna de b12 e 3 é um produto escolar porque o resultado será um escalar um número vamos agora novamente a primeira levou deixar mais simples as cores da equipa de morar - a primeira linha de a novamente só que agora um produto escalar pela segunda coluna db está então 00 e 1 essa é a segunda coluna db vamos prosseguir escrevendo adivinha quem primeira linha de a um vetor coluna 1 - 1 e 2 produto escalar pela terceira coluna db q é um 10 esse será um elemento da primeira linha e terceira coluna da matriz a b e agora primeira linha quarta coluna mais uma vez a primeira linha de a pela quarta coluna db que em menos 1 e 2 você já viu que vamos ter que tomar cuidado aí 1 - 1 e 2 vamos ter que tomar cuidado pra realizar os produtos as continhas bastante atenção para não errar agora segunda linha de a como um vetor coluna segunda linha de a 0 - 2 e 1 segunda linha de a produto escalar pela primeira coluna de b novamente é um dois e três toma cuidado bastante repetição ok é fácil errar nessa hora na transcrever os números vamos lá de novo segunda linha de ar como vetor coluna 0 - 2 e 11 vezes segunda coluna db q é 00 e um tá bem que tem bastante conta por 0 então vai ficar fácil a gente fazer mais uma vez nosso vetor zero - 2 e 12 de um escalar terceira coluna de b1 e 0 e se você já deve ter intuído que vai ser o elemento a água agora esse agora vai ser o elemento da segunda linha de a b e da quarta coluna é a segunda linha de a vezes a quarta coluna de b que é o vetor 1 - 1 e 2 e agora fechamos aqui a nossa matriz ab quero mais nada que você perceba como nós fizemos a multiplicação da matriz aprovetou 1123 primeira linha de ar com o metrô coluna vezes o vetor 23 que a primeira coluna db depois a segunda linha de a vezes novamente o vetor 123 vamos agora fazer esse produto é feito a já estava indicado então temos que a matriz a b tensão agora vão fazer um monte de continha ok também tem bastante 0 mas nem sempre é assim mas pense bem lá um vezes 11 começamos multiplicando nas primeiras dimensões um resumo mais a segunda dimensão opa é menos 1 vezes 2 - 1 vezes 2 vai dar negativo e mais um número negativo fica negativo 1 - 2 e mais agora sim dois meses três igual a 60 é zero não precisava escrever mas vamos lá - um v10 então teria menos 10 + 0 mas 2 vezes um assim um resumo um positivo - um vezes um podemos escrever menos 11 e 20 vamos a somar 2 com zero pode sim fazer de cabeça você quiser um vezes 1 - 1 vezes - uma atenção é positivo mais 1 e 2 vezes 24 então vamos lá mais quatro muito bem conseguindo agora 10 vezes 10 menos 2 vezes dois igual ao menos 41 registrei é fácil é 33 positivo 000 menos 20 se até eu sei a 0 também eo vezo também sei é um positivo 03 10 menos 2 vezes um é menos 2 e 10 é igual a zero então vamos somar 0 aqui 10 vezes 10 - 2 - 1 mais dois e um vezes dois é igual a 2 também positivo está feita a nossa explicação a b imagina você tem achado esse processo tanto tedioso e que podia ter feito de cabeça e podia mesmo mas por segurança e como esmola resolvi fazer por escrito você pode pular se achar necessário fazer de cabeça é bom está em dia com os cálculos vamos lá então 1 - 2 mais seis é igual aos 5 positivo 0 mas é mais dois nem precisa pensar muito um menos 160 e em 2011 mais um mas quatro é igual a 6 positivo 0 - 4 mais três devo 4 pago 3 devo 10 mas é mais um é igual um positivo 1 - 2 + 0 ecoturis negativo 0 + 2 nós dois é igual a quatro e temos então aqui nossa matriz a b que tem duas linhas duas linhas por quatro colunas vamos relembrar e das matrizes a e b no começo do vídeo veja só a matriz a e b tinha duas linhas há duas linhas da matriz a e quatro colunas da matriz b nós já estamos aqui vamos aproveitar e copiar suas matrizes a e b mas abaixo os copiá las seja só colar aqui nós fazemos algumas considerações veja só colar neste lugar então só relembrando uma coisa importantíssima mas a gente vai multiplicar duas matrizes a b nesta ordem é muito importante que o número de colunas a matriz a seja igual número de linhas da matriz b e o produto a b como vimos vai ter o mesmo número de linhas da matriz a e o mesmo número de colunas da matriz b dessa forma talvez você esteja se perguntando será que nós podemos definir também a assim como fazemos o produto abc será possível fazer também o produto bea como se tivéssemos os inúmeros usar propriedade comutativa troquei o lugar dos números será que isso é possível pensar que rapidamente então chamaremos como já visto a seria a multiplicação da matriz baa3 b por cada coluna da matriz até um vetor coluna primeiro deles então 10 vetor com duas dimensões então pertencente à r 2 novamente a matriz b3 de vezes a segunda coluna de ar que menos 1 e 2 - 1 e 2 vai pensando quando eu escrevo que que você faria será que é possível se sabe justificar se é possível não vamos lá matriz b vezes novamente terceira coluna da matriz a nesse trabalho que é misterioso muitas vezes a gente erra no copiar número na verdade sei se eu já não cometi algum erro por aí fica a seu critério dar uma olhadinha professores às vezes acontece é o que aconteceria se nós fossemos fazer se eu fosse fazer mais uma linha que prosseguir o píer veja que isso aqui é feito como já entrado cada coluna de bebê que tem três dimensões pertence então ao r31 na verdade pertence ao r31 como é que eu poderia multiplicar por um vetor pertencente ao vetor de ar com duas dimensões pertencente ao r 2 então isso aqui esse produto bea dessa forma vemos que ele é ele não se define ele não é definido o rock então não podemos não definido o produto bea assim como é definido o produto a b nesse caso então não tenha propriedade comutativa é isso poderia até acontecer por exemplo imagine que a matriz ativa e dois por três como está aqui ea matriz b3 por dois então até poderíamos isso poderia até acontecer mas não necessariamente mesmo assim poderia ser diferente o produto abelha matriz produto saber da matriz produto bea pode ser igual e pode não ser tão geral dizemos que não é de muitas vezes não é nem mesmo definido nesse caso não podemos nem começar a fazer muito bem esse trabalho todo é bastante tedioso uma coisa que é fácil a gente errar cometeu um erro principalmente com os números são maiores é mas enfim qual é a nossa motivação isso é importante ficar neste vídeo a nossa motivação pra todo esse trabalho de multiplicação de matrizes eu vou retornar um pouco ao que nós falamos no último vídeo veja só eu vou lembrar você que nós tínhamos transformações lineares tocar por aqui vamos lembrar que nós vimos por exemplo uma transformação s definida do r31 por exemplo a verdade não lembro se é exatamente r 3 mais pra gente entende bem do r 3 para r 2 essa transformação é se aplicada um vetor x qualquer um poderia ser ele expressa como você viu por uma matriz digamos matriz a não necessariamente a mesma desse vídeo a atriz a multiplicada por um vetor x isso para fazer a transformação linear atendo sendo essa uma transformação linear ela pode ser expressa dessa maneira e digamos também que nós tivéssemos a matriz de transformação te uma tristeza definida então digamos também do r4 para o r31 essa matriz também linear também digamos aplicada um vetor x se ela é uma transformação linear pode ser substituto deve ser expressa é claro por pela multiplicação de uma matriz b por pelo vetor x é dessa forma nós temos vamos relembrar que nós fizemos lá então alguns conjuntos digamos um conjunto que há no r 4 conjunto de vetores no essencial r4 aqui um conjunto pertencente ao r31 conjunto onde nós representaremos pensamos em vetores pertencentes ao r 2 muito bem a transformação ter colocado aqui transformação teve vamos a cor digamos essa transformação então é transformação te pode ser expressa pela multiplicação da matriz bp fundado vetor x um vetor não r4 se torna um vetor em r 3 ea transformação é se vamos lá a transformação é se leva do r31 vetor de r 13 essa transformação s do r 3 para r 2 então pode ser expressa pela matriz a vezes o nosso vetor x o vídeo anterior nós vimos como é possível partir das transformações ts lineares definir uma transformação linear também direta do r4 para o r2 bastando para isso fazer a composição das funções s&t nós fazemos veja só ontem 1º t e depois é se nós fazemos aqui a transformação s composta ter essa forma é o sbt aplicada ao vetor x e será igual veja só é para que eu possa fazer essa composição pense é eu aplico a transformação t primeiramente a transformação ter aplicado ao vetor x então tdx e assim que aplicamos nós temos um novo vetor agora não r 3 e nesse vetor e aplicada a transformação s então temos tdx e aplicamos a transformação s a transformação é se aplicada a tx dessa forma posso garantir a você que s composta tdx esse composta tdx é igual é é uma transformação definida melhor dizendo uma transformação direta como eu disse agora pouco definida do r4 diretamente ao espaço r 2 antes desse trabalho é que essa transformação pode ser ela você sabe que ela é a multiplicação da matriz a pelo produto bmx a forma pela nossa definição nós podemos expressar essa transformação linear direta a transformação sdt x então ela fica posso escrever sdt x sdt aplicado ao vetor x pode então ser tranqüilamente apresentada pelo produto da matriz a pela matriz b matriz a vezes a matriz b como definimos neste vídeo vezes o vetor x isso facilita muito o trabalho que nojo linear e eu quero que fiquem determinar é importante que fique mostrado você a motivação para tudo esse trabalho por vezes ter de uso é de multiplicação da matriz a pela matriz b tem que ser feito com bastante cuidado como você viu para evitar erros pode ser até que eu tenha cometido algum erro é só você que dê uma boa olhada mas o conceito modo de fazer exatamente isso ele todo esse trabalho tem uma motivação ele não é um trabalho puramente matemático que a gente faz é só para se divertir ou como alguns alunos acham só para acomodar só dá trabalho nas suas provas e tarefas é um trabalho o trabalho de de multiplicação de matrizes facilita muito a nossa vida que nós linear quando tratamos de expressar transformações lineares diretas veja só que nós temos mais trabalho e podemos fazer um trabalho direto com esse trabalho de multiplicação de matrizes pode até ser uma coisa trabalhosa mas é bastante simples e vale muito a pena ser estudado