Combinações lineares e espaço gerado

RKA17 - Um termo que ouviremos bastante durante este vídeo aqui é o termo "combinação linear". O que é isso? Na verdade, combinação linear nada mais é do que uma combinação linear! Bom, é uma combinação de vetores. E eu vou explicar melhor, mas é bom que você guarde este nome: combinação linear. Vamos dizer que nós temos os vetores v₁, v₂, até o vₙ. Vamos fazendo todos os vetores até o vₙ. E vamos dizer que esses vetores aqui pertencem a um espaço vetorial, vamos dizer, R² ou Rⁿ, tanto faz. Vamos dizer que eles estejam no Rⁿ. Então, nós simplesmente vamos dizer que eles pertencem a algum espaço real, que, no caso aqui, é Rⁿ. Bom, mas a ideia aqui é muito simples, portanto, a ideia de combinação linear consta no seguinte: vou pegar todos esses vetores aqui, vou somar esses vetores, e eu vou ter, na verdade, um outro vetor no Rⁿ. Vamos dizer que eu tenho a seguinte combinação: v₁ mais v₂, depois, mais todos os vetores, até chegar no até chegar no vₙ. Bom, e tudo isso aqui tem que estar multiplicado por uma constante arbitrária. Então, aqui, vamos multiplicar por c₁, aqui por c₂, aqui por cₙ, de modo que de c₁ até cₙ , todos esses elementos aqui pertencem ao conjunto dos números reais. Isso é, exatamente, uma combinação linear, é tudo que uma combinação linear representa. Para entender isso melhor, vamos fazer um exemplo prático. Pense que esses vetores aqui estão todos em negrito, porque, às vezes, é muito chato ficar colocando todos em negrito, dá muito trabalho. Então, vamos lá, vou definir aqui o meu vetor "a". O meu vetor "a" vai ser o vetor [1 2], então, por exemplo, o vetor [1 2]. E vamos dizer que meu vetor "b" seja o vetor [0 3]. Esse é o vetor "b". E qual seria uma combinação linear possível para esses vetores "a" e "b" aqui? A gente poderia ter a seguinte combinação: zero vezes "a", mais zero vezes o vetor "b". Bom, então, zero vezes o vetor "a" mais zero vezes o vetor "b". E por que isso? A gente está seguindo essa forma padrão aqui, sempre uma constante vezes um vetor. Isso aqui é uma forma trivial, não é? Isso aqui vai dar o que? Isso vai dar zero vezes "a", que é [0 0] e aqui, zero vezes "b" zero vezes zero, é zero, zero vezes "3", é zero, [0 0] + [0 0] vai dar [0 0]. Isso aqui é uma combinação totalmente válida, a gente poderia escrever esse vetor aqui como sendo vetor nulo, vetor zero. E vamos fazer mais um outro exemplo, vamos fazer, por exemplo, 3a, estou escolhendo os números aqui ou acaso, tá? Então, vou escolher agora um número negativo só por diversão. -2b. Então, 3a - 2b, isso aqui vai dar o quê? Vamos fazer a conta aqui. A gente tem 3 vezes "a", 3 vezes 1, que é 3, -2 vezes zero, que é zero. então, menos zero. Aqui, 3 vezes 2, que é 6, -2 vezes 3, que também é 6, então, -6. E aqui, eu vou ter esse meu vetor, vai ser igual a [3 0]. Vai ser o vetor [3 0]. Portanto, isso aqui é o que nós chamamos de uma combinação linear dos vetores "a" e "b". E eu poderia ter escolhido qualquer número para colocar aqui no lugar de "a" e "b", e assim, eu teria combinações lineares diferentes de "a" e "b". E eu ainda poderia ter um outro vetor aqui, vamos dizer, um vetor "c". Esse vetor "c" aqui poderia dizer que fosse o vetor [7 2]. Ainda poderia acrescentar esse vetor aqui, poderia colocar aqui, por exemplo, mais 8 vezes "c". Logo, tudo isso aqui são combinações lineares. Por que, então, nós chamamos isso aqui de combinação? Por que nós temos que acrescentar este sufixo "linear"? Isso porque nós multiplicamos um vetor sempre por um escalar, e isso dá uma linha. Nós não estamos fazendo aqui, por exemplo, uma multiplicação de vetor com vetor. Na verdade, nós ainda nem definimos o que é uma multiplicação entre dois vetores, embora existam diversas maneiras de fazer essa multiplicação. Você sabe, a gente não pode chegar aqui, pegar este vetor e elevá-lo ao quadrado, de alguma forma, o que a gente estaria fazendo é deixar isso aqui não sendo mais linear. E, na verdade, o que fazemos é pegar todos esses vetores aqui, somá-los, e todos esses vetores estão multiplicados apenas por um escalar. Então, por isso que esse nome aqui é combinação linear. Você vai me perguntar: bom, por que você está introduzindo essa ideia de combinação linear? Bom, estou explicando porque eu quero explicar. Na verdade, é porque toda vez que o estudante aprende isso pela primeira vez, ele acaba se confundindo, e eu pretendo que vocês não se confundam mais com isso. Então, tudo o que nós fizemos aqui, deixe-me só voltar aqui, então, o que nós fizemos aqui, nós pegamos esses valores, pegamos esses valores, todos esses valores, aqui eu deveria ter feito com uma cor diferente. Então, esses valores todos aqui são valores que nós podemos mudar. Tome cuidado para não confundir este c₁ aqui com este outro "c". Então, esses valores nós mudamos para obter a nossa combinação linear. Essas são as nossas constantes. E eu peguei números diferentes aqui e obtive vetores diferentes. Mas, a pergunta que não quer calar, é a seguinte: se eu pegar esses dois vetores aqui e fizer todas as combinações possíveis desses vetores, vou obter um conjunto a partir dessas combinações. Qual conjunto é esse? Esta aqui é uma das combinações possíveis, mas o que eu quero saber é o conjunto que será formado a partir da combinação desses dois vetores. Portanto, deixe-me desenhar aqui o vetor "a", então, o vetor "a" é o vetor [1 2]. Ele está mais ou menos aqui, assim. Então, o vetor "a" está aqui, deixe-me fazê-lo. Então, este aqui é o vetor "a". E eu vou desenhar, também, o vetor "b", deixe-me só trocar a cor aqui. O vetor "b" eu vou fazer de amarelo, então, o vetor "b" é o vetor [0 3]. O vetor "b" está aqui, este é o meu vetor "b". Bom, e agora, a pergunta é o seguinte, a pergunta é: que vetores eu vou ter aqui, a partir desses dois vetores? Ou seja, somando ou subtraindo esses vetores, multiplicando por escalares, enfim, quais são os vetores que se formarão a partir disso? Eu acho que a gente tem que pensar nisso, tanto algebricamente como visualmente. Então, vamos lá, vamos fazer isso. E até então, nós já vimos algumas coisas. Nós já vimos, por exemplo, que se a gente multiplicar os dois vetores por zero, eu vou ter esse ponto aqui, ponto (0, 0), que seria um vetor nulo. A gente viu aqui, também, essa outra combinação linear, então, a gente tem aqui, por exemplo, 3a, 3a seria mais ou menos aqui assim. 3a seria mais ou menos isso. Aqui, eu tenho o vetor 3a. E o outro vetor é o -2b, então, o -2b vai estar por aqui, assim. Então, aqui vai estar o vetor -b, então, aqui assim, a gente vai ter o vetor -2b. Aqui, eu tenho o meu vetor -2b, então, se eu adicionar ao meu vetor 3a, o vetor -2b, o que eu terei? Vou pegar este vetor aqui e vou colocá-lo aqui. Vai dar exatamente aqui no vetor [3 0] deixe-me desenhar aqui o meu vetor [3 0], então, este aqui é o meu vetor [3 0]. Mas essa aqui é apenas uma das combinações entre "a" e "b". Eu também poderia ter feito assim, em vez de multiplicar o vetor "a" por 3, poderia ter multiplicado por 1,5. Se eu tivesse explicado por 1,5, eu teria alguma coisa mais ou menos assim. Então, eu teria o meu vetor chegando aqui, e eu poderia, ainda, ter feito o quê? Poderia ter subtraído 2b. Então, aqui, somado -2b, tanto faz. Eu teria mais ou menos, este vetor aqui. E aí, qual seria o resultado? Bom, a minha combinação de vetores seria esse outro vetor aqui. Então, seria esse outro vetor aqui. E o que eu acabei de fazer foi mostrar que eu consegui esse vetor aqui a partir de uma combinação linear de "a" e "b", e mostrar que esse vetor aqui, também foi conseguido através de uma combinação linear de "a" e "b". Bom, então, o eu digo a você é o seguinte: na verdade, eu posso conseguir qualquer vetor no R² a partir dessa combinação de vetores, a partir do vetor "a" e do vetor "b". Então, vamos tentar pensar nisso aqui de um modo um pouco mais arbitrário, vamos dizer, por exemplo, que eu pegasse o vetor "a" e o multiplicasse por qualquer número, um número qualquer, então, vamos dizer aqui que eu tenho um número aqui, assim, e multipliquei "a" por esse número. E aí, vou pegar aqui e somar o meu vetor "b". E o meu vetor "b" vai estar aqui nesta linha. Ele pode estar tanto para cima, se eu multiplicar por um número positivo, ou pode estar para baixo, se eu multiplicar por um número negativo. Então, pode estar em qualquer lugar dessa linha aqui, desde que eu o multiplique por um número escalar. Bom, fazendo a mesma coisa, ainda com o "a", em vez de ter parado aqui, eu poderia multiplicar mais um pouquinho o "a", ter vindo, vamos dizer, até aqui. Então, teria novamente, somando "b", toda essa linha aqui. Teria toda essa linha aqui, então, qualquer vetor nessa linha. Da mesma forma, poderia pegar números negativos também. Então, eu posso pegar o vetor "a", e multiplicar por um número negativo também, então, multiplico "a" por um número negativo, e aqui, quando somar "b", vou ter números nessa linha aqui, vou ter vetores nessa linha aqui. Então, somando ou subtraindo "b", e aí multiplicando por um escalar, vou ter números nessa linha aqui. E não há razão para parar aqui, ou aqui, eu posso estender isso também, tanto para o negativo como para o positivo. Eu posso pegar valores aqui no meio, intermediários também, e posso somar ao meu vetor "b". Enfim, eu vou ter valores em qualquer lugar do espaço do R², eu posso preencher isso em qualquer lugar do espaço. Então, o que nós podemos escrever aqui, é como que nós podemos gerar esse espaço no R². Então, vamos escrever isso. Permita-me escrever o seguinte, permita-me escrever que o espaço gerado pelos vetores "a" e "b", espaço gerado pelos vetores "a" e "b", então, vou pegar os vetores "a" e "b", vou combinar esses vetores, e vai gerar um espaço, que espaço vai ser esse? Bom, esse espaço aqui, vai ser um espaço de todas as duas duplas possíveis no R². Então, na verdade, isso aqui vai ser todo o R². Isso, porque o "a" e o "b" são capazes de gerar todo o R². Mas será que isso funciona com qualquer par de vetor? Vamos ver aqui um outro exemplo. Então, vamos dizer, por exemplo, que eu tenho o vetor "a" e o vetor "b". Vamos dizer que o meu vetor "a" seja o vetor [2 2], por exemplo. Então, vetor "a", este é o meu vetor "a", e que ele seja [2 2]. E vou desenhar, também, o vetor "b". E vamos dizer que o meu vetor "b" esteja aqui, no ponto (-2, -2), então, que aqui esteja o meu vetor "b", este aqui é o vetor "b", esse aqui é [-2 -2]. Este é o meu vetor "a", e este, o meu vetor "b". Na verdade, a pergunta que eu faço é a seguinte: será que vou conseguir obter qualquer vetor a partir de "a" e "b"? Então, se eu pegar aqui o vetor "a" e o vetor "b", vamos dizer, deixe-me só trocar a cor aqui, então, se eu pegar o vetor "a", por exemplo, posso andar tanto nessa direção aqui, quanto para baixo, porque basta multiplicar por um número negativo. Assim como o "b", eu posso estender o "b" para cá, também posso multiplicar por um número negativo, tanto "b" como "a", e também irão andar aqui. Na verdade, o que está acontecendo? Na verdade, esses vetores, a combinação deles, só vai andar em cima dessa linha. Então, sempre que eu desenhar esses vetores aqui na forma padrão, estarão sempre nessa linha porque eles têm sempre a mesma inclinação. E o que eu posso dizer, por exemplo, é que eu nunca vou conseguir gerar esse vetor aqui. Então, este vetor nunca vai ser gerado, este vetor "c". Ele nunca vai ser gerado por "a" e "b", porque os vetores "a" e "b" só vão cair nessa linha aqui. Eu posso fazer o que eu quiser com "a" e "b", eu posso multiplicar por um escalar, posso subtrair, posso somar, o que eu fizer, virar de ponta-cabeça, o resultado nunca vai dar o vetor "c". Logo, neste caso aqui, o nosso espaço gerado, nosso espaço gerado por "a" e por "b" deixe-me colocar o "b" aqui de amarelinho, então, por "a" e por "b", o que vai acontecer com esse espaço? Este espaço vai ser apenas essa reta aqui, este é um caso particular. Portanto, neste exemplo, a gente não conseguiu gerar todo o R² a partir desses dois vetores. Então, isso aqui não é só mais uma pergunta, é uma afirmação. Eu mostrei a você que quaisquer dois vetores nem sempre geram o R² inteiro. Qual é o espaço gerado, por exemplo, pelo vetor nulo? Então, por exemplo, eu quero saber qual é o espaço gerado pelo vetor nulo. Que espaço gera esse vetor aqui? Bom, esse vetor é o seguinte, esse vetor é o vetor [0 0]. Eu poderia colocar aqui uma constante, enfim, pegar qualquer número aqui, multiplicar por zero e zero, mas, o que vai acontecer? Isso aqui, independentemente do valor que eu colocar aqui nessa constante, sempre vai dar zero. Então, isso aqui é sempre igual a zero, é sempre um vetor nulo. Da mesma forma, nós vimos o que acontecia aqui em cima, então, aqui em cima, vamos ver. Se eu quero saber, por exemplo, qual espaço que "a" vai gerar, então, espaço que "a" vai gerar. Bom, então, vou pensar o seguinte, vou pensar como é que eu gero espaço com "a". Então, tem que fazer "c", uma constante "c" vezes "a". Então, vai dar isso aqui, vai dar toda a linha que está em cima do vetor "a". A gente até chegou a ver isso nos vídeos anteriores, quando a gente parametrizou a reta. Então, o "c" vezes "a" vai dar toda essa linha aqui, esse aqui vai ser o espaço que "a" vai gerar. Para representar todo o R², para representar todo o plano, eu preciso de dois vetores que não sejam colineares. Eu chamo esses vetores de independentes. Aqui, eu fiz isso, peguei o vetor "a" e o vetor "b", esses dois vetores aqui não eram colineares e foram capazes de gerar todo o R². Então, para gerar todo o espaço basta que você pegue dois vetores que não sejam colineares. Bom, e talvez você queira fazer isso com dois vetores que sejam mais familiares a você, por exemplo, os vetores que você aprendeu lá nas suas aulas de Física. Então, vamos utilizar esses valores, "i" e "j". O que eu acredito que você tenha aprendido é o seguinte, que o vetor "i" é o vetor [1 0], enquanto que o vetor "j" é o vetor [0 1]. Então, o vetor "i" é [1 0], o vetor "j" é o vetor [0 1]. Isso deve ser o que você aprendeu lá na sua Física clássica. E, portanto, aqui eu tenho o vetor "i", aqui eu tenho meu vetor "i", então, deixe-me fazer isso com uma cor diferente, então, aqui vai ser o meu vetor "j", esse aqui vai ser o meu vetor "j". Bom, a gente aprendeu, lá na escola, que esses dois vetores aqui são ortogonais, mas ortogonalidade é um conceito bem amplo, não é? Porque, na verdade, quando a gente aprendeu lá na escola, a gente aprendeu que vetores ortogonais são aqueles que têm 90 graus entre si. Mas a gente, talvez, pudesse estender aqui da seguinte maneira: será que quaisquer dos vetores que não estivessem na mesma linha poderiam ser chamado de ortogonais? Isso porque eles conseguem gerar todo o espaço do R², por exemplo, então, basta que dois vetores não estejam na mesma linha, que eles conseguem gerar, por exemplo, esse cara aqui. A gente consegue gerar esse vetor aqui. Inclusive esses dois vetores que estão desenhados aqui, o vetor "i" e o vetor "j". Na verdade, esses dois vetores aqui terem 90 graus entre si, torna-os muito especiais, porque se torna muito mais fácil fazer qualquer vetor a partir deles. Dizemos também que esses vetores "i" e "j" são uma base para o nosso R². Bom, eu não vou definir o que é uma base agora, mas a gente vai ver isso nos vídeos futuros. Então, deixe-me escrever isso aqui de maneira formal aqui em cima, vamos lá. Vou escrever isso aqui de maneira formal. Então, vou dizer que o meu espaço gerado por v₁, v₂, e assim por diante, até o vetor vₙ, isso aqui vai ser o que? Isso aqui vai ser igual a c₁ v₁ + c₂ v₂, mais, assim por diante, até cₙ vₙ, deixe-me chegar isso aqui um pouquinho para o lado, de forma que todo "ci" pertença a "R" ou seja, todo "c", índice "i" pertença a "R", e para quais "i"? Na verdade, para "i" menor ou igual a "n", e maior ou igual a 1. É isso aqui que eu estou querendo dizer. Então, o que eu estou querendo dizer aqui é o seguinte: que esse espaço aqui é gerado por todos esses vetores aqui, por toda a combinação desses vetores. Então, quando combino esses vetores aqui, dá todo esse espaço. Então, esse espaço vai ser gerado por todas as combinações lineares desses vetores aqui. Eu acho que, talvez, essa ideia de espaço gerado faça bastante sentido para a gente, porque a gente vê, desde o começo do vídeo, que a gente vem gerando vetores, ou gerando espaço, a partir de quem? A partir de dois outros vetores, aqui neste caso. Embora aqui eu tenha feito mais ou menos uma prova, bom, não é uma prova, é uma visualização, e você talvez tenha visualizado isso aqui e tenha ficado com a ideia de que: "bom, tudo bem, está certo", Mas como é que a gente poderia fazer uma prova matemática disso? E dá para fazer isso, vamos ver aqui embaixo. Vamos lá, vou puxar isso um pouco para baixo. Então, vou dizer a você o seguinte, a gente pode pegar aqui alguns vetores, deixe-me só olhar aqui em cima novamente, só para conferir quem é o meu vetor "a" e quem é o meu vetor "b". Então, esse aqui é o meu vetor "a", e o meu vetor "b". Então, o meu vetor "a" é [1 2] e "b" é [0 3]. Bom, então, deixe-me voltar aqui para baixo de novo, então, vamos lá, o meu vetor "a" é [1 2] e o meu vetor "b" é [0 3]. Então, agora eu quero dizer o seguinte, eu quero dizer que eu posso representar qualquer vetor no R². Então, por exemplo, um vetor "x" que tem as suas coordenadas, vamos dizer, [x₁ x₂]. Como eu represento esse vetor aqui através desses dois vetores? Então, tenho que provar a você, que você é capaz de pegar uma constante, multiplicar pelo vetor "a", somar com uma constante multiplicada pelo vetor "b", e chegar no vetor "x". Então, é isso que vou escrever aqui embaixo. Então, eu terei o seguinte, eu terei que c₁ vezes "a", c₁ vezes o vetor "a", mais c₂ vezes o vetor "b", isso aqui vai ser igual ao vetor "x". Então, vamos reescrever isso aqui, representando apenas pelas colunas dos vetores. Então, vai ficar assim: c₁ vezes esse vetor, vetor "a", que é [1 2], depois, mais c₂ vezes "b", então, "b" é [0 3], isso aqui vai ser igual a quê? Isso aqui vai ser igual a [x₁ x₂], que é o vetor "x". Neste caso aqui, repare, quero encontrar quem é o x₁ e quem é o x₂. Então, vamos continuar isso aqui embaixo, vou escrever o seguinte, eu vou escrever que 1 vezes c₁ mais zero vezes c₂, isso aqui vai ser igual a x₁. Da mesma forma, aqui, 2 vezes c₁ mais 3 vezes c₂, isso aqui vai ser igual a x₂. Agora, vou mostrar a você que eu posso encontrar um c₁ e um c₂ que resolvam esse problema aqui. Então, fazendo isso aqui de forma genérica para x₁ e x₂, eu estou dizendo o seguinte: estou dizendo que qualquer ponto vai poder ser escrito na forma c₁ "a" mais c₂ "b". Ou seja, através de uma combinação linear de "a" e "b". Vejamos, então, como podemos fazer isso aqui. Aqui, a gente tem um zero, isso aqui vai dar zero. Bom, aqui a gente pode multiplicar tudo por -2, então, vai ficar -2c₁, pegar a primeira linha e multiplicar por -2. O que a gente está fazendo é pegar essa linha aqui e multiplicar por -2. Aqui, mais zero, porque aqui é zero. Igual a -2x₁. Então, posso fazer o seguinte, eu posso pegar essas duas linhas aqui e somá-las. Então, vou somar essas duas linhas aqui. Esses dois juntos aqui vão dar zero, porque são opostos, deixe-me só fazer isso com outra cor, bom, aqui vai dar 3c₂, porque estou somando com zero, então, 3c₂. Isso aqui vai ser igual a quê? Bom, aqui vai dar x₂ - 2x₁ Então, dividido por 3 de ambos os lados, nós teremos o seguinte: nós teremos c₂ é igual a 1/3 de (x₂ - 2x₁). Então, é isso que nós teríamos. E agora, a gente teria que fazer o quê? A gente teria que substituir isso aqui em uma das equações. Mas, na verdade, pode ser até mais fácil, porque a primeira equação diz o seguinte para a gente: 1c₁ + 0 = x₁. Então, posso dizer que c₁ = x₁. Portanto, posso escrever isso aqui. c₁ = x₁. Então, aqui a gente conseguiu fazer o que a gente queria, porque x₁ e x₂ são apenas dois números reais. Então, basta que eu coloque aqui, esses valores para x₁ e x₂, e eu vou descobrir qual o "c" que eu tenho que usar, para fazer a combinação linear desses vetores e encontrar o vetor "x". Portanto, vamos ver qual é a combinação que vai me dar, bom deixe-me fazer isso aqui, não, deixe-me fazer um pouco mais para baixo. Então, qual é a combinação? Bom, na verdade, eu tenho que fazer isso um pouco mais embaixo mesmo. Deixe-me puxar para cá, vamos fazer aqui. Então, qual é a combinação que vai me dar o vetor [2 2]? Que combinação vai me dar esse vetor aqui? Então, o que vou fazer é utilizar estas duas equações aqui para resolver isso. Então, vamos lá. Eu já tenho que c₁ é igual a x₁, então, c₁ é igual a 2 né, porque é igual a x₁. E c₂ é igual a 1/3 de 2 menos 2, né, que é x₂ - x₁. Então, isso aqui vai dar zero. Na verdade, acabei fazendo uma confusão aqui, porque aqui é x₂ - 2x₁. Estou, na verdade, precisando de descanso! Então, vamos lá. Isso aqui, na verdade, vai ser 1/3 de (2 - 2 vezes 2) Então, isso aqui vai ser igual a 1/3 de (2 - 4), isso aqui vai ser -2/3. Então, se eu fizer 2 vezes o meu vetor "a", -2/3 do meu vetor "b", isso aqui vai ter que me dar o vetor [2 2]. E você pode verificar isso aqui. Portanto, o que você vai ter que verificar é o seguinte: 2 vezes o vetor "a", o vetor "a" é [1 2], -2/3 do vetor "b", o vetor "b" é [0 3]. Isso aqui vai ter que dar o quê? Isso aqui vai ter que dar o vetor [2 2]. Bom, espero que vocês tenham gostado. Até um próximo vídeo!