Representações paramétricas de linhas

RKA17 - Você talvez esteja pensando que tudo o que nós fizemos em Álgebra Linear até agora seja a maneira mais difícil de fazer o que você já sabia fazer antes. Isso, obviamente, se você já conhecia vetores anteriormente, mas eu estou supondo que você já estudou isso em Cálculo, em Pré-cálculo, ou nas suas aulas de Física. Neste vídeo, quero mostrar algo a você que você nunca fez antes, e isso só será possível porque você assistiu a todos os vídeos anteriores. Novamente, vou começar algo aqui, de forma diferente, algo que você já sabe fazer, mas de uma outra forma. Então, deixe-me definir aqui o meu vetor, e em vez de fazer esse vetor em negrito, eu vou fazer esse vetor aqui com uma setinha em cima, porque fica mais fácil para mim. Então, isso aqui vai ser igual, vamos dizer que eu pegue o vetor que seja [2 1]. Isso aqui é um vetor no R², então, vetor [2 1]. Se fosse para desenhá-lo na posição padrão, eu iria andar 2 aqui para a direita e 1 aqui para cima, estaria mais ou menos aqui. Então, partindo do (0, 0) seria mais ou menos isso. Este aqui é o meu vetor "v". Se perguntasse a você, a partir do vetor "v", quais são todos os vetores possíveis a serem criados? Então, deixe-me definir aqui um conjunto para auxiliar a gente. Aqui, "s" será igual a quê? Será "c", é uma constante "c", vezes "v", então, "c" vezes "v". Somente para deixar isso aqui com um rigor um pouco maior, vamos dizer que "c" pertence ao conjunto dos números reais. Então, "c" também é o número real. Deixe-me dar um exemplo disso aqui, se "c" fosse 2, deixe-me só fazer de um jeito diferente aqui. Se eu fizesse assim, 2v, isso aqui seria o quê? Isso aqui seria o vetor [4 2]. Se eu fosse desenhar esse vetor aqui, saindo da posição padrão, eu iria daqui até o ponto (4, 2), então, até aqui, até (4, 2). Esses vetores aqui são colineares. Bom, eu também poderia ter feito isso aqui multiplicando por 1,5 então, teria 1,5 vezes "v". Deixe-me só mudar a cor aqui, isso vai dar o quê? Isso aqui vai dar 1,5 vezes 2, é 3. Então, 1,5 vezes 2 é 3, e 1,5 vezes 1, é 1,5. Então, [3 1,5] é o meu novo vetor, e, portanto, a dezena aqui na forma padrão, a gente tem 3 e 1,5, então, 3 e 1,5 está mais ou menos aqui assim. De novo, mais um vetor colinear. Eu poderia multiplicar, na verdade, por qualquer número, eu poderia multiplicar por zero, ou por 1,4999 e chegaria aqui bem pertinho, ou eu poderia multiplicar por 0,0001 e chegaria aqui pertinho do zero também, ou então, eu poderia fazer isso aqui vezes 0,001. 0,001 vezes "v", isto daria um vetor bem pequenininho aqui, colinear ainda, bem pequeno. Ou eu poderia fazer -0,001 vezes "v". Poderia ter o meu vetor bem pequenininho aqui, só que no sentido oposto. E se eu multiplicasse, por exemplo, este vetor, por -10? Bom, teria um vetor que viria para cá assim, na verdade, por aqui assim, e esse vetor ficaria bem grande. Se eu pegasse todos os "c" pertencentes a "R", iria acabar tendo os vetores todos em cima desta linha aqui. Então, iria ter os vetores todos aqui, todos em cima dessa linha aqui. Bom, acho que você já entendeu a ideia disso, não é? Então, aqui também, por outro lado, deixe-me só fazer aqui, então, teria vetores sempre em cima desta linha aqui. Por isso, nós dizemos que essa família de vetores aqui são vetores colineares, todos estão sempre em cima da mesma linha. Então, deixe-me escrever isso aqui, isso aqui vai ser o conjunto dos vetores colineares. o conjunto dos vetores colineares. E se nós olharmos para esses vetores como vetores de posição, por exemplo, esse vetor aqui representa um ponto no espaço R². Neste caso aqui, estamos tratando do R². O R² representa o plano cartesiano, na verdade, todas as direções aqui desse plano cartesiano. Vamos considerar esse vetor como vetor de posição, deixe-me escrever aqui, posição. O que acontece? Então, o conjunto "s", composto por todos os vetores múltiplos do vetor "v", estará onde? Estará em cima dessa linha aqui, por toda essa linha aqui, ao longo dessa linha. Eu quero lembrar a você, que esta linha tem uma inclinação 2, não, na verdade, 1/2, porque aqui eu tenho 1, e aqui eu tenho 2, então, um 1/2, isso aqui dá 0,5 Isso aí a gente lembra das aulas de Álgebra Linear que a gente viu em outros vídeos. Mas, então, eu tenho que essa linha aqui, que tem inclinação 1/2, que passa pelo ponto (0, 0), na verdade, ela faz com que todos os vetores possam ser vetores de posição, ou seja, vetores que partam do ponto (0, 0). E aí, você tem os vetores ao longo de toda essa linha aqui. Se eu não esclareço isso para você, você poderia começar a desenhar o vetor [4 2] daqui, por exemplo, e desenhá-lo até aqui. E você iria me dizer: "bom, eles não são colineares". Então, por isso que eu estou te dizendo, você tem que desenhar a partir desse ponto zero aqui. E aí sim eles vão se tornar colineares, eles estarão acima aqui da mesma linha. Talvez se eu não fizesse o esclarecimento para você aqui, você poderia ficar sem entender, porque, na verdade, você pode desenhar o vetor em qualquer lugar do espaço. Então, aqui, nós estamos desenhando apenas vetores de posição, vetores que partem do ponto (0, 0), e a ponta da sua seta chega na coordenada do vetor. Portanto, nós podemos escrever aqui que são vetores de posição, deixe-me escrever aqui, vetores de posição. Então, é isso que eu quero dizer com vetores de posição, mas, não necessariamente, quando a gente desenha um vetor, este vetor tem que ser um vetor de posição. Essa é apenas a forma pela qual eu decidi fazer esse vídeo aqui, dando prioridade para esse tipo de visualização, e então, nós podemos dizer que essa família de vetores aqui está fazendo o quê? Está pegando vetor "v" e mantendo a sua inclinação. Então, mantém a mesma inclinação. É isso que essa família de vetores aqui está fazendo. Mas e se em vez dessa linha aqui, nós quiséssemos representar outras linhas? E vamos dizer que fossem linhas paralelas essa linha, mas que não fosse essa linha aqui. Então, vamos dizer que fosse uma linha que passasse aqui pelo ponto (2, 4), passasse aqui por este ponto, ponto (2, 4). Se eu tivesse apenas pensando nesse vetor posição, a minha linha seria esta aqui. Seria esta linha aqui, que seria a linha do meu vetor posição. Seria o vetor [2 4], eu poderia chamar, por exemplo, de "x", "x" é igual a [2 4], poderia escrever assim. "x" = [2 4]. Mas e se eu quisesse a linha que fosse paralela a essa outra linha, que eu já fiz anteriormente, mas que passasse pelo porto (2, 4), como é que eu posso fazer isso? Então, o que eu quero fazer é representar essa linha aqui. É esta linha que eu quero representar, acho que já deu para você entender a ideia, não é? Então, quero representar esta linha aqui. Essas duas linhas são paralelas. Como posso desenhar toda uma família de vetores que fique todas em cima desta linha aqui? Como a gente pode fazer isso? Você pode pensar da seguinte forma, imagine que você tenha um vetor aqui em cima desta linha, e o que você vai fazer? Você vai pegar esse vetor e vai transportá-lo para cá. Então, este vetor vai ser transportado para essa outra linha aqui. E como é que a gente vai fazer isso? Vamos dizer que a gente tenha, por exemplo, esse vetor aqui, vetor que vai até o ponto (-4, -2), esse vetor aqui. Esse vetor é -2 vezes "v", que, por sua vez, é igual a [-4 -2]. Então, isso aqui representa esse vetor amarelo que nós acabamos de desenhar. Mas, se eu fizesse dessa forma, pegasse -2v, e em vez de fazer só isso, somasse o vetor "x", somasse esse vetor aqui, o que iria acontecer? Então, a partir daqui, eu andaria 2 casas para a direita e 4 casas para cima, o que iria corresponder a esse vetor aqui. Então, essa soma aqui, por exemplo, corresponderia a esse ponto aqui, assim como esta outra soma correspondeu a este ponto, e então, quando eu defino o conjunto dessa forma, apenas multiplicando por uma constante "c", é o conjunto que vai passar pelo ponto (0, 0), então, vai ser essa linha aqui. Mas agora, deixe-me definir um conjunto de outra forma, deixe-me definir o conjunto "L", e "L" talvez seja de "linha", então, deixe-me escrever aqui, vou colocar o meu vetor "x", mais, em vez da constante "c", eu vou colocar "t", porque a gente usa "t" para parametrizar a reta. Na verdade, isso aqui é meio padrão. Então, agora "t" vezes o meu vetor "v". De forma que "t" pertença ao conjunto dos números reais. Então, o que vai ser esse nosso conjunto? Esse conjunto aqui será o conjunto de todos os vetores que caem em cima dessa linha azul aqui. Então, todos os vetores irão cair em cima dessa linha azul. Então, por exemplo, esse meu vetor -2v, esse vetor aqui, foi quando eu peguei "t" e o fiz ser o quê? Fiz ele ser -2, então, o que aconteceu? Aconteceu o seguinte, esse vetor veio até aqui, então, depois que eu somei o vetor "x", foi parar aqui, e então, esse vetor aqui, na verdade, é equivalente isso aqui. Porque ele veio parar aqui em cima desse ponto. E eu posso fazer isso com qualquer vetor que estiver nessa reta aqui. Da mesma forma, eu posso fazer isso com esse vetor aqui, quando eu peguei esse vetor inicial, e somei a ele o vetor "x", o que aconteceu? Ele veio parar aqui. Então, na verdade, eu tenho esse vetor aqui. Então, o que eu estou dizendo é o seguinte, se eu pegar todo esse meu conjunto aqui, o que vai acontecer? Ele, na verdade, vai parar em cima dessa linha azul. Então, o que eu estou dizendo é que esse conjunto é equivalente aos vetores que saem do ponto (0, 0), que são vetores padrões. Eles saem do ponto (0, 0) e chegam aqui nesse conjunto, onde tem essa linha azul. Então, eu saio daqui e chego aqui, por exemplo, e você me diz: bom, essa aqui foi uma maneira muito estranha de definir uma linha e você ainda vai me dizer que era bem mais fácil quando você tinha aprendido dessa forma aqui, que "y = mx + b", e que você sabe isso aqui desde a 8ª série, quando você aprendeu isso. E esse "m" aqui era o coeficiente angular, e esse "b" aqui era o coeficiente linear. E eu vou ter que dizer a você, realmente, de fato, isso aqui era bem mais fácil quando você aprendeu dessa maneira aqui isso aqui era muito mais fácil do que o que a gente está vendo agora. Mas por que estou definindo isso aqui dessa forma tão estranha, fazendo você pensar tanto nisso aqui, na forma de vetores, e soma de vetores, enfim, por que eu estou fazendo dessa maneira? Aqui era bem mais simples, era só substituir pontos e a gente achava reta rapidamente, a sua inclinação, era tudo moleza. Mas eu estou fazendo dessa forma aqui porque esta é uma forma bem geral é uma forma generalizada, diferente dessa forma aqui. Essa forma era muito conhecida para a gente no R². Bom, legal que seja no R², até porque, neste problema, a gente só está trabalhando com o R² mesmo. Mas o fato é que isso aqui é muito limitado para a gente, na verdade, é muito bom para o R², para você ter "x" e "y" apenas, mas, o seu professor, na verdade, nunca disse a você tudo o que você deveria saber. Vamos dizer aqui, por exemplo, como é que a gente faz uma linha no R³? Talvez você até tenha aprendido a fazer isso com um professor seu, em três dimensões, mas será que você chegou a ver isso aqui em quatro dimensões? Em quatro dimensões eu acho difícil você ter visto isso. Mas imagine, então, se fosse em cem dimensões. E na verdade, é esse tipo de representação que isso aqui faz por nós. Então, isso aqui faz por nós esse tipo de representação. Aqui, eu fiz esse tipo de representação, com o vetor "x" e com o vetor "v", e esse vetor "v" está em duas dimensões, assim como o vetor "x". Mas aqui, eu poderia estender isso aqui para outras dimensões. Somente para continuarmos, vamos fazer mais um exemplo aqui no R². Vamos fazer mais um exemplo aqui também no R². Vamos lá. Vamos fazer um problema clássico aqui, aquele problema de você tem dois pontos e você tem que encontrar a equação da reta, onde você tem esses dois pontos. E vamos dizer que, nesse caso, nós também temos dois vetores. Temos o vetor "a", que é igual a [2 1], e onde vai estar o vetor "a" aqui no nosso plano cartesiano? Então, aqui é 2, eu ando 2 aqui para a direita, ando 1 para cima, o meu vetor está aqui. Aqui está o meu vetor [2 1]. Esse é o vetor "a", deixe-me apenas escrever aqui em cima, este aqui vai ser o meu vetor "a". Vamos dizer que eu tenha aqui o meu vetor "b", então, o vetor "b" vai ser o vetor [0 3]. Este aqui vai ser o meu vetor "b". Então, no plano cartesiano, aqui vai ser o zero, então, ele não anda nem para a direita e nem para a esquerda, mas sobe 3 unidades, então, vem até aqui. Então, esse aqui vai ser o meu vetor "b". E agora, eu vou fazer o quê? Eu vou dizer que esses pontos aqui, onde os meus vetores estão chegando, serão pontos do R². Serão pontos do R². E portanto, agora, esses vetores posição representam um ponto no espaço, então, se eu perguntasse a você, qual é a reta que passa por esses dois pontos aqui? Passa por esses dois pontos, o ponto [2 1] e o ponto [0 3]. Então, você sabe, é aquela clássica reta, a gente vai ligar esses dois pontos, liga esses dois pontos, você já conseguiu entender o que eu estou fazendo. Então, eu quero saber qual é a reta que passa por esses dois pontos. De uma forma clássica, como é que você faria isso aqui? Você pegaria esses dois pontos, cairia em um sistema, resolveria esse sistema, ou ainda, você poderia ver isso aqui pela inclinação, e por onde esse ponto corta o eixo "y", enfim, você teria jeitos diferentes de fazer, que não fosse por vetores. E portanto, como é que nós poderíamos fazer isso aqui? Bom, poderíamos pensar nisso aqui, como sendo, a gente tem essa linha aqui, não é? Então, a gente queria que esses pontos passassem por aqui, a gente queria, na verdade, que os vetores passassem por aqui. Ou melhor, vamos dizer que nós temos um vetor, que a gente tem um vetor nessa linha aqui, e que a gente vai multiplicar esse vetor por um número escalar. Por um escalar, que é um número real. Então, eu pego um vetor, multiplico por um número real, e aí eu abranjo toda a linha aqui. Então, vou abranger toda essa linha. Então, como é que eu faço isso? Que vetor é esse? O que eu estou querendo saber é que vetor que vai aparecer nessa linha, que vai representar todos os outros vetores dessa linha aqui. Então, vamos ver como é que nós podemos fazer isso. Então, vamos lá, vamos começar por aqui. Aqui, eu tenho o vetor "b", deixe-me escrever "b" aqui. Então, o que eu teria se eu fizesse "b" menos "a"? O que nós aprendemos, não sei se foi no vídeo anterior, acho que sim, que esse vetor aqui é o vetor "b" menos "a", então, esse aqui é o vetor "b - a". Então, é isso aqui que nós temos. Você pode pensar assim: bom, o que eu tenho que adicionar a "a" para chegar a "b"? Então, na verdade, isso aqui é "b" menos "a". Então, com isso, eu consegui aqui o meu "b - a", e agora, o que eu tenho que fazer? Eu já tenho esse vetor aqui nessa linha, então, basta que multiplique esse vetor por qualquer escalar, de modo que, nesse caso aqui, eu vou ter qualquer ponto em cima dessa linha. Mas, nesse caso, nós temos que ter um pouco de cuidado, o que vai acontecer se eu pegar "t", e multiplicar pelo vetor "b - a"? Então, eu vou multiplicar pelo vetor "b - a". O que vai acontecer com isso? Eu falo que a gente tem que ter um certo cuidado pelo seguinte, a gente está considerando "b - a" como sendo esse vetor aqui, só que, quando a gente parte da posição padrão, então, a gente parte daqui, do (0, 0), o que vai acontecer? O meu vetor "b - a", na verdade, vai estar aqui, assim. Então, na verdade, se a gente pega o escalar "t" e multiplica por "b - a", a gente vai ter pontos aqui, nessa linha. Então, a gente vai ter pontos nessa linha, ao longo de toda essa linha, em vez de ter na linha que a gente quer. A gente vai ter o ponto nessa linha aqui, mas o que nós queríamos inicialmente era essa linha aqui. Nós queríamos essa linha. E como é que nós vamos fazer isso? Nós temos que parametrizar isso aqui de forma a transformar essa linha nessa outra linha aqui, paralela a essa. Bom, nós vimos isso no exemplo um pouco mais acima, então, vou chamar essa linha de "L", e quero saber: Que linha é essa? Que linha eu posso parametrizar por "L"? Então, como é que eu vou chegar nessa reta "L"? Bom, começar por aqui, é isso que eu tenho. Vou começar daqui, e vou fazer o quê? Vou pegar essa reta, que está descrita por isso, e vou aproximar para essa. Como é que eu vou fazer essa aproximação? Vou utilizar o meu vetor "b". Quando eu somar "b" aqui, eu vou cair em cima dessa reta aqui, que é a reta que eu queria. Isso de fato iria funcionar, basta pegar "b" aqui, coloco o "b" aqui, e somo a "t". Onde "t" é um número pertencente aos números reais. E uma outra maneira de fazer isso aqui, é pegar o meu vetor "a" e somar a qualquer ponto aqui dessa reta amarela. Então, quando eu somar qualquer ponto dessa reta aqui, eu vou bater na minha reta verde. Então, é isso que vai acontecer. Aqui, eu pego o meu vetor "a" e somo, e vou aparecer aqui na reta verde. Então, nós não precisamos nos preocupar com o que nós vamos somar aqui. Pode ser "a" ou "b". Então, se eu fizesse aqui dessa forma, "a" + "t" vezes "b - a" isso aqui sendo que "t" pertencente a R, isso aqui também funciona. Então, ambas essas equações aqui estão corretas, então, o conjunto que dá a minha equação poderia ser qualquer uma delas, poderia ser este aqui, o conjunto "L", ou poderia ser esse conjunto "L" aqui também, tanto faz. As duas estão corretas. Bom, isso aqui parece um pouco abstrato, mas quando você coloca números aqui no lugar de "b" e "a", isso se torna muito mais simples de entender. Na verdade, isso se torna muito mais simples do que tudo que nós aprendemos em Álgebra I. Deixe-me colocar aqui qual será o meu conjunto "L", meu conjunto "L" será, vou começar por essa primeira definição que nós fizemos. Vou colocar o "b", que é [0 3], "b" é [0 3], mais "t", vezes quem? "t" vezes "b - a". Mas o que é "b - a"? Bom, "b - a" é o seguinte, aqui é zero menos 2, vai dar -2, e aqui é 3 menos 1, que dá 2. Aqui vai ser "t" vezes o vetor [-2 2], que é "b - a". Isso aqui, dado que "t" pertence a R. Ou seja, "t" também é um número real. Agora, isso fica parecendo um jogo muito complicado, não é? Principalmente se você não está confiante com essa definição. Nós poderíamos pensar o seguinte, poderíamos pensar em "x" e "y". Então, vamos definir aqui, por exemplo, que esse aqui vai ser o nosso eixo "y", e então, aqui vai ser o eixo "x". Espero que dessa forma você consiga entender melhor. Esse cara aqui, o zero, vai ser o "x". E aqui vai ser o "y". Da mesma forma, aqui vai ser o "x" e o "y", sendo que esse aqui, esse -2 que está junto ao "t", vai ser a inclinação da nossa reta. Vai ser responsável pela inclinação. E isso aqui, na verdade, vai acabar se tornando um tipo de vetor que é chamado de [L₁ L₂]. Esse vai ser o nosso vetor "L", que vai acabar se tornando este aqui, o vetor [L₁ L₂]. Vou chamar isso aqui de "Li", então, essa aqui é a coordenada "x" e essa aqui é a coordenada "y". Coordenada, deixe-me escrever aqui, coordenada. Coordenada "x" e coordenada "y". Então, somente para que você possa reconhecer isso aqui de uma forma melhor, a gente pode fazer assim, a gente pode separar isso aqui, vamos separar isso aqui, e vamos dizer que isso aqui são as coordenadas do eixo "x". A gente pode escrever assim, "x" vai ser igual a zero mais -2t, isso aqui vai ser o nosso eixo "x". Quais são as coordenadas do nosso eixo "y"? As coordenadas de "y" estão aqui. Então, posso dizer que as coordenadas de "y" são 3 + 2t. Essas são as coordenadas do eixo "y", portanto, nós poderíamos ter escrito essa equação aqui da seguinte maneira: "x = -2t" e "y = 2t + 3". A gente poderia ter escrito assim. Portanto, se você tiver assistido aos outros vídeos, você vai ver que esse jeito aqui é a maneira que nós utilizamos para definir parametricamente essa reta. É dessa forma que nós conseguimos definir essa reta, de forma paramétrica. Então, foi dessa maneira. Você talvez diga: bom, isso foi muito complicado, nós perdemos muito tempo, tivemos que definir esse conjunto dessa maneira aqui. Para que isso tudo? A gente fez tudo isso porque agora vou mostrar a você uma coisa que talvez você nunca tenha visto nas suas aulas de Álgebra clássica. Então, vamos lá, vamos dar uma olhada nisso aqui. Agora, vamos dizer que nós temos dois pontos, só que agora em três dimensões. Esse ponto aqui vai ser o ponto 1, eu vou dizer que esse ponto é -1, 2 e 7. P₁ = [-1, 2, 7] Agora, nós temos isso aqui em três dimensões, porque nós temos três coordenadas. Poderia ser, por exemplo, "x", "y" e "z". Então, agora, vamos definir o nosso ponto 2. Definindo o ponto P₂, vamos dizer que esse ponto aqui, por exemplo, seja o ponto zero, 3 e 4. Esse aqui é o nosso ponto [0, 3, 4]. Ambos estão no R³, em três dimensões. Vamos dizer que, agora, eu quisesse descobrir qual equação que passa por esses dois pontos aqui, só que no R³. Deixe-me escrever isso aqui, no R³. Como é que a gente vai descobrir essa equação? Então, vou dizer que esse aqui é o meu conjunto "L", que meu conjunto "L" é o conjunto da minha linha, que forma os pontos da minha linha. Então, vou pegar aqui o meu vetor P₁, tanto faz pegar P₁ ou P₂. Eu vou escolher P₁. A gente tem que ter um pouco de cuidado, aqui são vetores, P₁ e P₂. Os pontos aqui podem representar vetores, mais "t", que é o meu parâmetro, vezes "P₁ - P₂" ou "P₂ - P₁", tanto faz. Eu prefiro fazer "P₁ - P₂". Prefiro fazer assim. Onde "t" pertence ao conjunto dos números reais, então, agora nós podemos continuar aqui da seguinte maneira, primeiro, vamos fazer o que é "P₁ - P₂", quanto é que vai dar isso? Vamos olhar lá em cima, nos nossos vetores. Olhando os vetores aqui, nós temos que P₁ é [-1, 2, 7], e P₂ é [0, 3, 4]. Então, -1 menos zero vai dar -1. 2 menos 3 também vai dar -1. E aqui 7 menos 4, vai dar 3. Então, meu vetor "P₁ - P₂" é [-1, -1, 3]. Então, aqui a gente vai ter que "L" vai ser igual, vou colocar aqui o meu vetor P₁, o meu vetor P₁ é [-1, 2, 7]. Este aqui é o meu vetor P₁, mais "t", vezes esse vetor aqui, "P₁ - P₂". O vetor "P₁ - P₂", então, vou colocar aqui [-1, -1, 3]. Na verdade, eu até "papei mosca" aqui, não é? Porque P₁ é mais difícil do que P₂, pois tem um zero aqui. Mas vamos deixar como P₁ mesmo, a gente colocou P₁, então deixa P₁. De modo que "t" seja pertencente ao conjunto dos números reais. Então, esse aqui é o nosso conjunto "L", que é o conjunto que vai descrever todos os pontos que eu teria a partir da minha posição padrão desses vetores. Talvez você ainda fique com a pulga atrás da orelha com isso aqui, e fale: "Bom, mas como é que eu vou traçar isso aqui em três dimensões?" "Isso não está fazendo sentido nenhum para mim". Mas se você estiver muito preocupado com isso, vamos fazer isso aqui embaixo. Então, vamos definir melhor esses eixos aqui. Posso chamar esse eixo aqui de eixo "z", esse eixo aqui de eixo "x", e aqui a gente pode ter nosso terceiro eixo, o eixo "y", por exemplo. Aqui será o nosso eixo "y". Vamos colocar aqui, este é o nosso terceiro eixo. O que você pode fazer para conseguir desenhar isso aqui, ou, pelo menos, para descobrir qual a equação da reta que passa por esses pontos é fazer o seguinte: pegar os coordenadas do eixo "x". As coordenadas de todos os eixos, na verdade. Vamos pegar, aqui, as coordenadas do eixo "x". Aqui, vou dizer o seguinte, que "x" vai ser igual a -1, eu tenho que tomar um pouco de cuidado com as cores aqui, mais, -1 vezes "t", esse é o nosso "x", essa é a minha coordenada "x". E agora, deixe-me colocar aqui a minha coordenada "y". A minha coordenada "y" vai ser isso aqui. Vai ser esse pedaço. A minha coordenada "y" vai ser, bom, vou fazer direto aqui, isso vai ser 2 mais -1 vezes "t". E a minha coordenada "z" vai ser isso aqui, minha coordenada "z" será esta última aqui. O "z" vai ser igual a 7, aqui eu posso colocar direto "3t", então, "7 + 3t". Essa aqui é a minha coordenada "z". Dessa forma, nós temos três equações paramétricas que representam a reta que nós queremos. Lá em Álgebra I, nós aprendemos que nós somos capazes de fazer o seguinte, de deixar as equações "x" e "y", apenas em função das duas letras, mesmo que elas sejam paramétricas, então, vai ficar só em função de "x" e "y". Mas quando nós temos uma equação paramétrica "x", "y" e "z", a única maneira de definir, realmente, de fato, essa equação, é dessa forma. Porque se a gente tivesse, por exemplo, alguma coisa do tipo "x" + "y" + "z", e isso aqui, vamos dizer que isso aqui é igual a uma constante "k", eu digo a você o seguinte: isso aqui não é uma reta. Então, isso seria o quê? Isso seria um plano, mas nós vamos falar mais disso quando nós formos ver o R³. A única maneira de descrever uma equação em três dimensões, vamos dizer que eu quisesse descrever, sei lá, o voo de uma mosca. Então, a única maneira é utilizando essas equações paramétricas aqui. Isso, independentemente do tipo de trajetória, vamos dizer que eu desse um tiro com uma bala de canhão, sei lá, e essa bala fosse seguindo em linha reta, também seria uma equação paramétrica. Então, você pode dizer que isso aqui são equações de uma reta em três dimensões. Portanto, eu espero que você tenha gostado bastante deste vídeo, porque, neste vídeo, a Álgebra Linear é capaz de ajudar bastante você a resolver esse tipo de problema. E repare o seguinte, não há nenhum motivo para pararmos aqui em três dimensões. Nós poderíamos ter definido isso aqui para 50 dimensões, poderíamos definir uma reta em 50 dimensões se nós quiséssemos. Ou, pegar dois pontos em uma dimensão 50, e tentar descobrir qual é a reta que passa por esses dois pontos. Enfim, poderíamos fazer isso em qualquer dimensão. Embora seja muito difícil para nós visualizarmos isso, nós podemos lidar com isso matematicamente. Bom, espero que vocês tenham gostado realmente do vídeo. Até o próximo vídeo!