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Curso: Matemática 1 > Unidade 17

Lição 4: Teoremas que envolvem propriedades de triângulos

Propriedades de congruência e igualdade

Saiba quando aplicar as propriedades reflexiva, transitiva e simétrica em provas geométricas. Aprenda a relação entre medidas iguais e figuras congruentes.

Há diversas formas de escrever demonstrações de provas e algumas delas são mais formais que outras. Em demonstrações muito formais, justificamos afirmações que podem parecer óbvias para você. A razão pela qual as justificamos é que elas servem apenas para alguns tipos de relação. O que é verdade para uma relação de igualdade não é necessariamente verdade, por exemplo, para uma relação de desigualdade.

Vamos analisar algumas dessas propriedades. Vamos usar o símbolo

★

para representar uma relação desconhecida.

Propriedade reflexiva

Quando uma relação

★

tem uma propriedade reflexiva, isso significa que a relação sempre é verdadeira entre uma coisa e ela mesma. Portanto,

A ★ A

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	$=$ ‍	$- 5 \frac{3}{8} = - 5 \frac{3}{8}$ ‍
Congruência	$≅$ ‍	$∠ M N P ≅ ∠ M N P$ ‍
Semelhança	$\sim$ ‍	$△ M N P \sim △ M N P$ ‍

Usamos muito a propriedade reflexiva quando estamos analisando formas que compartilham lados ou ângulos.

Se estivermos falando sobre como

△ M N Q

△ P N Q

se relacionam, podemos afirmar que

\overset{―}{N Q} ≅ \overset{―}{N Q}

pela propriedade reflexiva.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

Desigualdades estritas não têm uma propriedade reflexiva. Por exemplo,

3 ≮ 3

Ser a mãe de alguém não é uma relação reflexiva. Eu não sou minha própria mãe.

Propriedade simétrica

Quando uma relação

★

tem uma propriedade simétrica, isso significa que se a relação for verdadeira entre duas coisas, ela é verdadeira em qualquer ordem. Se

A ★ B

, então

B ★ A

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	$=$ ‍	Se $8 = 11 - 3$ ‍, então $11 - 3 = 8$ ‍.
Congruência	$≅$ ‍	Se $\overset{―}{V W} ≅ \overset{―}{X Y}$ ‍, então $\overset{―}{X Y} ≅ \overset{―}{V W}$ ‍.
Semelhança	$\sim$ ‍	Se $A B C D \sim L M N P$ ‍, então $L M N P \sim A B C D$ ‍.
Paralelismo	$∥$ ‍	Se a reta $m ∥$ ‍ à reta $n$ ‍, então a reta $n ∥$ ‍ à reta $m$ ‍.
Perpendicularidade	$⊥$ ‍	Se $\vec{S T} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{U V}$ ‍, então $\overset{\leftrightarrow}{U V} ⊥ \vec{S T}$ ‍.

Pela definição da maioria das pessoas, a amizade é uma relação simétrica. Se Alice é amiga de Karen, então Karen é amiga de Alice.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

Desigualdades estritas não têm uma propriedade simétrica. Por exemplo,

10 < 100

, mas

100 ≮ 10

Ser a mãe de alguém também não é uma relação simétrica. Se Karen for mãe de Sandra, então Sandra não pode ser mãe de Karen.

Propriedade transitiva

Quando uma relação

★

tem uma propriedade transitiva, então duas coisas que se relacionam a uma coisa comum entre elas também se relacionam entre si. Se

A ★ B

B ★ C

, então

A ★ C

Quais são algumas das relações que usam isso?

Relação	Símbolos	Exemplo
Igualdade	$=$ ‍	Se $m ∠ F = m ∠ G$ ‍ e $m ∠ G = m ∠ H$ ‍, então $m ∠ F = m ∠ H$ ‍.
Congruência	$≅$ ‍	Se $△ R S T ≅ △ W X Y$ ‍ e $△ W X Y ≅ △ F G H$ ‍, então $△ R S T ≅ △ F G H$ ‍.
Semelhança	$\sim$ ‍	Se o círculo $A \sim$ ‍ ao círculo $B$ ‍ e o círculo $B \sim$ ‍ ao círculo $D$ ‍, então o círculo $A \sim$ ‍ ao círculo $D$ ‍.
Paralelismo	$∥$ ‍	Se $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{L M}$ ‍ e $\overset{―}{L M} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍, então $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍.

Quais são algumas das relações que não usam isso?

A perpendicularidade não é transitiva.

Na figura,

\overset{―}{A B} ⊥ \overset{―}{A C}

\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{C D}

, mas

\overset{―}{A B}

é paralela a

\overset{―}{C D}

, não perpendicular.

A amizade também não é transitiva. Se Ezequiel é amigo de Rosana e Rosana é amiga do Nelson, não sabemos se Ezequiel é amigo do Nelson ou não.

Igualdade versus congruência

Igualdade e congruência estão intimamente ligadas, mas são diferentes. Usamos relações de igualdade para tudo o que podemos expressar com números, incluindo medidas, fatores de escala e razões.

Valor	Exemplo
Medidas de ângulo	$m ∠ A + m ∠ B = 90 °$ ‍
Comprimentos de segmento	$M N = P Q = 5$ ‍
Área	Área $D E F G = 81 {cm}^{2}$ ‍
Razão	$\frac{3}{4} = \frac{J K}{K L}$ ‍

Usamos relações de congruência e semelhança para figuras geométricas. Não podemos realizar operações aritméticas como soma e multiplicação em figuras geométricas.

Figura	Exemplo
Ângulo	$∠ A ≅ ∠ C$ ‍
Segmento de reta	$\overset{―}{M N} ≅ \overset{―}{P Q}$ ‍
Polígono	$△ D E F \sim △ G H I$ ‍
Círculo	Todos os círculos são semelhantes a todos os outros círculos.

Há três teoremas muito úteis que conectam a igualdade e a congruência.

Dois ângulos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
Dois segmentos são congruentes se e somente se eles tiverem medidas iguais.
Dois triângulos são congruentes se e somente se todos os ângulos e lados correspondentes forem congruentes.

Portanto, na figura a seguir temos que

A B = C D = 3, 2

Em uma demonstração muito formal, precisaríamos de uma linha separada para afirmar que

\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{C D}

. Demonstrações e provas mais informais usam medidas iguais e partes congruentes de forma intercambiável. Verifique de qual delas você precisa!

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jeniferpinheiro.1711
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, como a lua consegue tapar o sol
o sol nao e bem maior que a lua
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