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Curso: Matemática 1 > Unidade 12

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Matemática 1
Progressões
Construção de progressões aritméticas
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Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas

Google Sala de Aula
Aprenda a converter entre fórmulas recursivas e explícitas de progressões aritméticas.
Antes de fazer esta lição, veja se você sabe encontrar fórmulas recursivas e fórmulas explícitas de progressões aritméticas.

Conversão de uma fórmula recursiva em uma fórmula explícita

Uma progressão aritmética tem a seguinte fórmula recursiva.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2
Lembre-se de que esta fórmula nos dá as duas informações a seguir:
  • O primeiro termo é 3
  • Para obter qualquer termo a partir do termo anterior, somamos 2. Em outras palavras, a diferença comum é 2.
Vamos encontrar uma fórmula explícita para a progressão.
Lembre-se de que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é A e cuja diferença comum é B, usando a forma explícita padrão A+B(n−1).
Portanto, a fórmula explícita da progressão é a(n)=3+2(n−1).

Teste seu conhecimento

1) Escreva uma fórmula explícita para a progressão.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7
b(n)=

2) Escreva uma fórmula explícita para a progressão.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13
c(n)=

Conversão de uma fórmula explícita em uma fórmula recursiva

Exemplo 1: A fórmula é dada na forma padrão

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
d(n)=5+16(n−1)
Esta fórmula é dada na forma explícita padrão A+B(n−1), onde A é o primeiro termo e B é a diferença comum. Portanto,
  • o primeiro termo da sequência é 5, e
  • a diferença comum é 16.
Vamos encontrar uma fórmula recursiva para a progressão. Lembre-se de que a fórmula recursiva nos dá duas informações:
  1. O primeiro termo (que sabemos ser 5)
  2. A regra do padrão para obter-se qualquer termo a partir do termo que vem antes (que sabemos ser "somar 16")
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16

Exemplo 2: A fórmula é dada na forma simplificada

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
e(n)=10+2n
Observe que esta fórmula não é dada na forma explícita padrão A+B(n−1).
Por isso, não podemos simplesmente usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a diferença comum. Em vez disso, podemos encontrar os dois primeiros termos:
  • e(1)=10+2⋅1=12
  • e(2)=10+2⋅2=14
Agora, podemos ver que o primeiro termo é 12 e a diferença comum é 2.
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2

Teste seu conhecimento

3) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é f(n)=5+12(n−1).
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B
A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

4) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é g(n)=−11−8(n−1).
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B
A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

5) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é h(n)=1+4n.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B
A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

6) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é i(n)=23−6n.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B
A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio

7*) Selecione todas as fórmulas que representam corretamente a progressão aritmética 101,114,127,…
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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