Integrais duplas 6

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando sobre as integrais duplas. Apenas como uma forma de revisão, no último vídeo calculamos o volume sob uma superfície e definimos esses limites para a integral. Agora, vamos ver como podemos realizar esse cálculo. Então, como calculamos essa integral? Como você pode perceber, nessa primeira integral eu estou integrando em relação a x, certo? Eu estou adicionando esses pequenos elementos de x e, com isso, estou formando esse retângulo bem aqui. Eu considero y sendo uma constante e integro ao longo do eixo x. Sabendo disso, qual é a antiderivada, ou seja, a primitiva, de x vezes y² em relação a x? Bem, vai ser (x² sobre 2) vezes y², que é somente uma constante nesse caso. E eu vou avaliar isso aqui de x igual a 1 até x igual à raiz quadrada de y, o que pode assustar um pouco, mas você vai ver que não é tão difícil assim fazer esse cálculo. Agora eu vou colocar aqui a parte de fora da integral. Aqui temos y indo de zero até 1, dy. Se x for igual a 1, essa expressão se torna a (y² sobre 2). Então colocamos aqui (y² sobre 2) menos... Se x, agora, é a raiz quadrada de y, como essa expressão vai ficar? Se x é igual à raiz quadrada de y, então x² é só y e isso vezes y², que vai ser igual a y³, não é? Sendo assim, temos aqui (y³ sobre 2). Até agora, tudo bem. Agora a gente calcula a integral em relação a y, ou seja, agora eu somo todos esses retângulos em relação à direção y. Ah, eu estou integrando de zero a 1, e isso em relação a y. Isso é interessante porque quando calcula a primeira integral em relação a x, você obtém uma função de y. Então seus limites de integração serão em função de y. Enfim, qual é a antiderivada, ou seja, a primitiva, de (y² sobre 2) menos (y³ sobre 2)? Bem, a antiderivada de y² é igual a... Você pode dividir por 3 e somar 1 no expoente. Assim, teremos (y³ sobre 6) menos y⁴ dividido por 4. Assim, teremos aqui esse 4 multiplicando o outro 2, que já estava no denominador, e, com isso, ficaremos com (y⁴ dividido por 8). É isso. A antiderivada de (y³ sobre 2) é (y⁴ sobre 8). Agora eu pego tudo isso aqui e substituto por 1 e por zero. Sendo assim, teremos o que aqui? Teremos ⅙ menos ⅛. Quando você substituir o zero em ambas as expressões, teremos isso tudo aqui -0 menos 0. Bem, zero menos zero é zero, então não precisamos nos preocupar com essa segunda parte. Assim, ficamos apenas com ⅙ menos ⅛. E quanto é isso? Fazendo MMC com os denominadores, teremos 24. Assim, teremos aqui (4 menos 3) sobre 24, que é apenas 1/24, e isso é o volume da figura. A forma que fizemos esse cálculo foi integrar primeiro em relação a x para depois integrar em relação a y. Agora, vamos fazer de outra forma. Vamos apagar algumas coisas aqui. Agora, eu vou redesenhar o plano xy para que a gente tenha a visualização correta. É mais importante visualizar o plano xy nesses problemas do que visualizar tudo em 3D. Esse é o eixo y e esse é o eixo x. Você pode ver o limite superior sendo em y igual a x² ou você também pode ver isso como tendo um limite superior em x igual à raiz quadrada de y. Isso aqui é x igual a 1 e y igual a 1. O que queremos aqui é o volume acima da região demarcada, certo? Eu vou desenhar um pequeno quadrado e isso é o nosso pequeno dA. A altura é dy e a base é dx, ok? Então, qual será o volume acima desse pequeno quadrado até uma altura igual ao valor da função? Não podemos esquecer que a altura é o valor da função, que é x vezes y², e depois nós multiplicamos isso aqui pela área da base. Bem, a área da base é dA, mas nós sabemos que dA é igual a dy/dx. Eu escrevi o y primeiro porque nós vamos somar na direção y. E o que significa somar na direção y? Significa que nós vamos somar esse quadrado a esse quadrado, ou seja, nós vamos tomar todos os dy, ok? Sabendo disso, qual é o limite superior em y? Mais uma vez, é onde esbarramos aqui na curva. Sendo assim, a curva é o limite superior quando nós subimos. E o que é o limite superior na curva? Nós estamos de mantendo o x fixo, então para todo x, qual é esse ponto? Bem, isso será x² porque esse é o gráfico de y igual a x². Então o nosso limite superior é y, que é igual a x². E qual é o nosso limite inferior? Nós podemos começar pegando esse aqui embaixo. Sendo assim, o nosso limite inferior é o zero. Essa expressão, como foi escrita agora, é o volume acima desse retângulo, ok? Então vamos desenhar isso aqui. É o volume acima desse retângulo. São os mesmos retângulos. Agora, o que vamos fazer é somar todos os dx e, ao fazer, isso, vamos encontrar o volume acima de toda a superfície. Então, em relação ao retângulo, nós vamos somá-lo com cada um dos dx, desse jeito. Sabendo disso, qual é o limite superior e o limite inferior em x? Nós vamos de x igual a zero, afinal não temos nada no gráfico antes de x igual a zero, até x igual a 1, ou seja, nosso limite inferior é zero e o nosso limite superior é x igual a 1. Em geral, uma maneira de pensar sobre isso é que quando está fazendo a última soma ou a última integral, você realmente não deve ter limites variáveis nesse ponto porque nossa resposta final deve ser um número, assumindo que não estamos lidando com algo muito, muito abstrato. Sendo assim, a nossa resposta final será numérica. Assim, se tiver alguma variável aqui, provavelmente você fez algo errado. Eu acho sempre útil desenhar o pequeno dy porque estamos pegando-o primeiro e depois somando com o restante até encontrar a curva. Sabendo disso, qual é o limite superior sendo x uma constante? É x², já que y é igual a x². Se eu descer, encontro o eixo x, ou y igual a zero, e assim por diante. Agora, que tal substituir isso aqui e confirmar se a gente tem a mesma resposta? Primeiro, nós integramos em relação a y. Sendo assim, temos aqui que isso é (x vezes y³) sobre 3, indo de zero a x². Agora integramos o exterior, dx. Se nós substituirmos x² por y, teremos o quê? (x²)³ é igual a x⁶. x⁶ vezes x. Então vamos escrever isso. Teremos aqui x vezes (x²)³ sobre 3, que é igual a x⁷. Para saber quanto é (x²)³, você deve multiplicar os expoentes. Só que ainda teremos uma multiplicação, então repetimos a base e somamos os expoentes. Com isso, teremos (x⁷ sobre 3) menos isso substituído por y sendo igual a zero, que acaba sendo zero. Assim, ficamos apenas com essa expressão aqui e então integramos isso de zero a 1 dx. Qual é a antiderivada de (x⁷ sobre 3)? Teremos aqui (x⁸ sobre 8), mas como já tínhamos 3 no denominador, ficaremos com 24 no denominador. Assim, calculamos isso indo de zero a 1. Bem, eu acho que teremos a mesma resposta. Quando substituir isso aqui por 1, você vai ter 1/24 e isso menos zero, pois ao substituir por zero, teremos zero. Então, mais uma vez, ao integrar em outra ordem, continuaremos tendo o mesmo volume para a figura, ou seja, 1/24 alguma coisa, alguma unidade cúbica. Enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!