Integral de superfície- Ex. 3, parte 1

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exercício sobre a parametrização de uma superfície. Nós temos aqui uma integral de superfície. E a superfície que vamos examinar, "S", tem essa forma. O lado externo dela está logo aqui e você pode ver que podemos decompô-la em três superfícies separadas. A primeira superfície é a sua base, que é um círculo unitário. A segunda superfície que temos aqui em azul, você pode vê-la como o lado de um cilindro. Mas o cilindro foi cortado por um plano aqui. E o plano que o corta é o plano z = 1 - x. E, claro, um plano mesmo vai além desta forma. Mas aonde aquele plano corta o cilindro, define a forma. A superfície azul está acima do limite do círculo unitário e abaixo do plano. E a terceira superfície é o subconjunto do plano, daquele plano roxo, de z = 1 - x, que se sobrepõe. Que de certa forma, cria o topo deste cilindro. Nós podemos reescrever esta integral de superfície como uma soma de três integrais de superfície. Ou seja, a integral de superfície de "z" em "s" ds é igual à integral de superfície de "z" em s₁ ds, mais a integral de superfície de "z" em s₂, mais a integral de superfície de "z" em s₃. O interessante de fazer isso é que nós podemos resolver cada uma delas de forma independente. Sendo assim, vamos começar com a superfície 1. Eu sei que você pode querer começar a parametrizar tudo imediatamente, e todo o resto, mas tem uma maneira bem mais rápida de lidar com essa integral de superfície. Especialmente, porque estamos usando a integral de superfície de "z". Qual é o valor que "z" assume sobre esta superfície, sobre este círculo unitário aqui? Bem, a superfície 1 está no plano (x, y). Quando estivermos no plano (x, y), "z" será igual a zero. Então, para toda esta superfície, "z" será igual a zero. Repare que estamos essencialmente integrando zero. Zero vezes "ds" será somente zero. Sendo assim, tudo isto resultará em zero. Isso é o mais simples que se pode chegar na avaliação de uma integral de superfície. Mas é sempre importante prestar atenção em coisas como essa, porque aí você não perde tempo realizando uma série de cálculos. Embora, realizando os cálculos, você vá chegar ao mesmo resultado. Observando isso, você não tem que gastar tanto tempo parametrizando as coisas e tudo mais. Agora, vamos para as outras integrais de superfície e vamos nos concentrar em inicialmente na superfície 2. Para esta superfície, os valores de "x" e "y" que são válidos são os valores de "x" e "y" sobre o círculo unitário aqui. Sendo assim, nós podemos parametrizar isso da mesma forma que parametrizaríamos um círculo unitário tradicional. Então, podemos definir aqui "x" sendo igual a, o nosso raio é 1, então "x" é igual ao cosseno de, eu vou usar o parâmetro "u". Sendo assim, x = cos u. Da mesma forma, podemos dizer que y = sen u. E "u" é o ângulo entre o eixo "x" positivo e onde quer que a gente esteja neste círculo unitário. Este ângulo aqui é "u", com isso, podemos dizer que "u" vai estar entre zero e 2π. Ou seja, essencialmente, estaremos percorrendo este círculo unitário. E estes são todos os valores de "x" e "y" possíveis que podemos ter. Agora, o valor de "z" é o que encontramos sobre o limite, e que obtemos ao longo da nossa superfície. Mas isso é interessante, porque o valor de "z" pode, obviamente, ter vários valores diferentes, mas sempre estará abaixo deste plano logo aqui. Aqui eu vou introduzir um novo parâmetro para "z" que eu vou chamar de "v". Este é o segundo parâmetro e "v" será definitivamente maior que zero. É bom deixar claro que "z" e "v" são a mesma coisa, ok? Eles serão definitivamente maiores ou iguais a zero, mas não serão menores ou iguais a alguma constante. Isto tem que ter um tipo de teto variável. "v" será menor ou igual a este plano aqui. Assim, podemos dizer que é menor ou igual a 1 - x. Sabemos que "z" é menor ou igual a 1 - x, mas, se nós usarmos nossos parâmetros, "v" é "z" e 1 - x = 1 - cos u. Agora, temos a nossa parametrização, então, estamos preparados para avaliar a integral de superfície. E para fazer isso, vamos calcular primeiro o produto vetorial. Nós queremos descobrir o que é o "ds". Sendo assim, temos que "ds" é igual ao módulo do produto vetorial da parte da nossa parametrização em relação a "u", com a parte da nossa parametrização em relação a "v". "du" "dv". Colocamos aqui a parte da nossa parametrização em relação a "u". E você pode ser perguntar: cadê a parametrização? Bem, está logo aqui. Eu só não escrevi na forma tradicional "i, j, k". Mas eu posso fazer isso também. Eu vou escrever isso como r₂, porque estamos falando da superfície 2, ok? E isso é igual a cos u î + sen u j^ + v k^. E este é o intervalo onde estarão incluídos os "u" e os "v". Agora, eu posso calcular a derivada parcial de "r" em relação a "u". Assim, eu terei que isso é igual a: a derivada do cosseno de "u" em relação a "u" é -sen u. Aí eu coloco aqui também o "î". Mais, a derivada do seno de "u" em relação a "u" é o cosseno de "u". Então, eu coloco aqui mais "cos u j^". Mais, bem, a derivada de "v" em relação a "u" é igual a zero. Então, ficamos apenas com isso aqui sendo a derivada parcial de "r" em relação a "u". Agora também queremos calcular a derivada parcial de "r" em relação a "v". E isso é igual a, bem, isso será igual a zero + zero, mais apenas a derivada de "v" em relação a "v", que é igual a 1. Então, teremos aqui apenas um k^. Agora que fizemos isso, estamos prontos para calcular o produto vetorial entre "ru" e "rv". Depois de fazer isso, vamos calcular o módulo deste produto vetorial também. O produto vetorial entre a derivada parcial de "r" em relação a "u", e a derivada parcial de "r" em relação a "v" é igual ao determinante de 3 por 3. Na primeira linha, colocamos os vetores unitários "i", "j", "k". Na segunda linha, colocamos os componentes da derivada parcial de "r" em relação a "u". Então, colocamos aqui menos o seno de "u" na primeira coluna. Na segunda coluna, colocamos aqui o cosseno de "u". Na terceira coluna, colocamos o zero. Agora, na terceira linha, colocamos as componentes da derivada parcial de "r" em relação a "v". Então, na primeira coluna, colocamos o zero. Na segunda coluna também. Na terceira coluna, colocamos 1. Afinal, é o valor que temos na terceira componente desta derivada. Agora, vamos calcular isto aqui. Vamos calcular o determinante. Então, inicialmente, pensamos na componente "i". Assim, isso será igual a cosseno vezes 1, que é apenas "cos u", menos zero. Então, teremos aqui apenas cos u vezes î, mais a componente "j". Assim, teremos zero menos, menos o seno de "u" vezes 1, que é igual a mais o seno de "u" j^. Agora, vamos para a componente "k". Teremos aqui, isto vezes zero, menos isto vezes zero, que é igual a zero. Sendo assim, o produto vetorial é apenas igual a isto. Agora, podemos calcular o módulo deste produto vetorial. O módulo do produto vetorial entre a derivada parcial de "r" em relação a "u" e a derivada parcial de "r" em relação a "v" é igual a √cos²u + sen²u. Não temos componente "k", então é apenas isto aqui. Isto aqui é a identidade trigonométrica mais básica. Isto se refere a um círculo unitário. Sendo assim, essa soma entre cos²u e sen²u, é igual a 1. A raiz quadrada de 1 é 1. Então, temos que isso é apenas igual a 1. O que é bom, porque assim podemos dizer que "ds" é apenas igual a "du" "dv", pelo menos para esta superfície. Agora que fizemos isso, estamos prontos para calcular a integral. Mas isso é algo que eu vou fazer em outro vídeo. Eu espero que você tenha compreendido até esta parte. E, mais uma vez, eu quero deixar aqui para você um grande abraço, e até a próxima!