Derivadas parciais de funções vetoriais

RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos conversar sobre a derivada parcial de uma função com valor vetorial. Para isso, vamos ter aqui uma função vetorial r(s, t) sendo igual a "x", que vai ser uma função de (s, t) vezes o vetor unitário î, mais y(s, t) vezes o vetor unitário de "y", ou seja, j^, mais z(s, t) vezes o vetor unitário de "z", que neste caso é o k^. Dado que temos essa função vetorial, vamos definir, ou vamos pensar sobre o que significa ter a derivada parcial dessa função vetorial em relação a um dos parâmetros: "s" ou "t". Eu acho que vai ser bastante natural, nada completamente bizarro aqui. A gente já fez derivadas parciais de funções não vetoriais antes. Basta variarmos uma das variáveis, ou seja, levarmos em consideração apenas uma variável, e mantermos a outra como uma constante. Nós vamos fazer exatamente a mesma coisa aqui. A gente também já aprendeu sobre as derivadas regulares da função vetorial. O caminho que usamos foi basicamente calcular a derivada normal de cada um dos termos. Vamos fazer a mesma coisa aqui, só que com uma derivada parcial. Enfim, feitos esses comentários, vamos definir a derivada parcial de "r" em relação a "s". Quando eu faço isso, eu vario "s" e mantenho o "t" sendo uma constante. Sendo assim, essa derivada parcial em relação a "s" é igual ao limite de Δs tendendo a zero de "r" de: s + Δs, já que estamos variando o "s", isso vírgula "t". Nós estamos mantendo o "t", ou seja, ele é tido como uma constante aqui. Isso menos r(s, t), tudo isso sobre Δs. Agora, fazendo um pouco de álgebra, sabemos que r(s + Δs, t) é a mesma coisa que x(s + Δs, t) i^, mais y(s + Δs, t) j^, mais z(s + Δs, t) k^, tudo isso menos este r(s, t). Se você fizer um pouco de álgebra aqui, isto vai ser igual ao limite, com Δs tendendo a zero, e eu vou escrever pequeno porque vou pegar um espaço bem grande aqui, de x(s + Δs, t), menos x(s, t), acho que você já sabe onde eu vou chegar. Eu sei que isto um pouco chato de fazer, mas é sempre bom fazer isso novamente. Isto aqui dividido por Δs, vezes i^. Mais "y" de, ah, o limite aqui, com Δs tendendo a zero, se aplica a todos os termos que eu estou escrevendo aqui. Continuando: temos y(s + Δs, t) menos y(s, t), tudo isso sobre Δs, vezes j^. Finalmente, mais z(s + Δs, t) menos z(s, t), tudo isso sobre Δs, vezes o vetor unitário de "z", ou seja, k^. Tudo isto aqui sai desta definição. Se você literalmente colocar apenas s + Δs no lugar de "s", você vai ver que tudo isto, fazendo um pouco de álgebra, vai acabar chegando na mesma coisa. Bem, nós estamos tomando aqui a derivada parcial de cada uma destas funções em relação a "s". Mas uma coisa que é preciso observar aqui é que essas funções, este x(s, t), este y(s, t) e este z(s, t), não são funções vetoriais. Teremos uma função vetorial ao multiplicar esta função não vetorial com os vetores unitários. Multiplicamos x(s, t) com o i^, mais y(s, t) com o j^, mais z(s, t) com o k^. Mas, de forma independente, estas funções não são funções vetoriais. Portanto, a gente tem aqui apenas a definição regular de derivadas parciais, onde nós estamos pegando o limite com Δs tendendo a zero em cada um destes casos. Enfim, isto é exatamente a mesma coisa que fizemos antes. Sendo assim, temos aqui que isto é igual à derivada parcial de "x" em relação a "s", vezes i^. mais a derivada parcial de "y" em relação a "s" vezes j^, mais a derivada parcial de "z" em relação a "s" vezes k^. Feito isso, é bom deixar claro aqui que este vídeo tem uma importância muito grande porque ele vai nos dar algumas boas ferramentas para os vídeos que teremos depois, sobre integrais de superfícies. Então, eu vou fazer uma coisa aqui que é um pouco de pseudomatemática, principalmente porque diferenciais são essas coisas que são muito difíceis de definir com rigor, mas eu acho que vou conseguir te dar uma intuição do que está acontecendo aqui. Para começar a fazer essa discussão, eu vou colocar aqui que isto é igual a, você não vai ver isso em qualquer livro de matemática, mas eu quero fazer isso porque acho que vai te dar uma ideia um pouco melhor sobre o que está acontecendo quando a gente calcular nossas integrais de superfícies. Sendo assim, eu vou dizer que tudo isto aqui é igual a: r(s), mais o diferencial de "s", que é uma super pequena variação de "s", vírgula t, menos r(s, t), tudo isso sobre essa mesma super pequena variação em "s". Por isso, eu espero que você entenda, pelo menos, por que exibir as coisas desta forma. Quando eu determinar o limite com Δs tendendo a zero, esses Δs vão ficar super pequenos. Na minha cabeça, eu imagino isso sendo algo como um diferencial. Quando alguém escreve que a derivada de "y" em relação a "x" é igual a 2, inclusive, já fizemos um pouco de matemática com diferenciais antes, você pode imaginar multiplicando ambos os lados por dx. Aí, com isso, você poderia dizer que dy = 2 vezes dx. A gente já fez isso ao longo do cálculo. A maneira que eu imagino isso é que temos uma super pequena variação em "y", uma infinitamente pequena variação em "y", e isso é igual a 2 vezes, você pode imaginar aqui uma pequena variação em "x". Olhando dessa forma, temos aqui que uma pequena variação em "y", apesar de ser super pequena, vai ser duas vezes a pequena variação em "x". Eu acho que isso é uma boa maneira de visualizar essas ideias. Sendo assim, de forma geral, eu posso ver os diferenciais como super pequenas variações em uma variável. Assim, com isso fora do caminho e me explicando sobre o porquê de ter feito essa discussão, vamos voltar a isto que eu fiz aqui em cima. Eu só estou dizendo que, como Δs tende a zero, eu posso imaginar o Δs como o ds. Eu fiz isso para que a gente possa pegar estes dois lados da igualdade e multiplicá-los pelo diferencial ds. Ao fazer isso, o que teremos? Teremos, aqui do lado esquerdo, a parcial de "r" em relação a "s", vezes ds. Isso é apenas um diferencial regular, uma super pequena variação em "s". E isto é igual a, bem, se você multiplicar este lado da equação com ds, o ds que está no denominador vai desaparecer. Então, teremos aqui o r(s), mais a nossa super pequena variação de "s", t, menos r(s, t). Agora eu vou guardar isto aqui e deixar destacado, porque isso vai ser muito importante para o próximo vídeo, já que nós vamos realmente pensar sobre o que isso significa e como a gente vai conseguir visualizar isto o sobre uma superfície. Ok, feito isso, como você pode observar, temos um vetor aqui. E, nesse vetor, temos duas variáveis. Pela mesma lógica, podemos fazer tudo o que fizemos aqui com o "s", só que agora com o "t". Então, podemos definir o parcial de "r" em relação a "t". Isso acaba sendo igual ao limite, com Δt tendendo a zero, de r(s, t + Δt) - r(s, t). Nesta situação, nós estamos mantendo o "s", que você pode imaginar como se fosse uma constante, e estamos variando o "t". Aí, colocamos tudo isso aqui sobre o Δt. Temos aqui que isto, ou seja, a parcial de "x" em relação a "t" vezes i^, mais a parcial de "y" em relação a "t" vezes j^, mais a parcial de "z" em relação a "t" vezes k^, é exatamente a mesma coisa, apenas trocando o "s" pelo "t" e vice-versa. E, por essa mesma lógica, teremos o mesmo resultado, só que em termos de "t". Se a gente fizer a mesma coisa que fizemos antes, teremos aqui a parcial de "r" em relação a "t", vezes uma super pequena variação em "t", que é o nosso diferencial em "t", e isso acaba sendo igual a r(s, t + Δt) - r(s, t). Eu também vou deixar isto aqui destacado, já que, no próximo vídeo, nós vamos realmente visualizar o que estes dois resultados significam. Só que não podemos esquecer que tudo o que fizemos aqui foi dizer que estamos derivando esta função vetorial em relação a "s" ou em relação a "t". Aí eu fiz algumas abordagens ou manipulações matemáticas para chegar a estes resultados, que serão muito importantes para o que vamos fazer em relação a integrais de superfícies. Bem, eu espero você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!