Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente

RKA8JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no último vídeo da série sobre derivadas parciais, e no vídeo passado, nós estávamos falando um pouco sobre as derivadas parciais de campos vetoriais. E neste vídeo aqui, nós iremos nos aprofundar um pouco mais nesse assunto falando sobre as duas componentes que aqui definem o nosso campo vetorial. Este assunto que vamos tratar é fundamental para o entendimento de conceitos futuros que nós iremos apresentar aqui no nosso curso de cálculo multivariável. Então, um campo vetorial como este que você vê na sua tela será definido por dois parâmetros. Neste caso aqui, escolhemos "x" e "y'', então, temos um campo vetorial V(x,y) que terá como valor de saída outras duas funções de (x, y), que são as nossas duas componentes, beleza? Horizontal e vertical. E desta vez, nós vamos nomear estas funções, beleza? A primeira componente do nosso campo vetorial será P(x, y) e a segunda componente será Q(x, y), beleza? Lembrando que "P" é a componente horizontal e "Q" é a componente vertical. Vale ressaltar que essas duas letras "P" e "Q" são utilizadas em diversos materiais e literaturas justamente para definir campos vetoriais. Então, não será difícil encontrar textos ou teoremas completos utilizando apenas "P" e "Q" para definir os componentes horizontal e vertical do campo vetorial. Neste caso aqui, a função que escolhi é a mesma que nós utilizamos no vídeo passado, onde "P = xy" e "Q = y² - x²". No vídeo passado também estávamos falando sobre a interpretação da derivada da função "V" em relação ao diferencial de uma das variáveis, que no caso foi o nosso ∂x, então, ∂v/∂x. E o raciocínio apresentado neste último vídeo tem os seus méritos, e se transformam em uma poderosa ferramenta conceitual. Porém, neste vídeo aqui nós não iremos finalizar essa derivada, mas sim as derivadas parciais de cada componente separadamente. O que eu quero dizer com isso é que nós iremos analisar as derivadas parciais de P(x,y) e de Q(x, y). Então, temos aqui 4 possíveis derivadas parciais, 2 em relação a "P", 2 em relação a "Q". Teremos a derivada ∂p/∂x. A de "P" em relação a "y", ∂P/∂y, e para "Q" teremos 2 também. Tanto o ∂Q/∂x quanto ∂Q/∂y. Temos aqui 4 valores para você avaliar a mudança do campo vetorial como um todo, então, vamos calcular estas parciais para a função que definimos aqui mais cedo. Derivando "p" em relação a "x", lembrando que "p" é este primeiro componente, teremos apenas "y'', já que a derivada de "x" é 1 e "y" se comporta como uma constante, e similarmente, para a derivada de "p" em relação a "y", teremos apenas "x". Para esta primeira derivada de "Q", que é ∂Q/∂x, teremos -2x, já que a derivada de y² em relação a "x" é zero, e para a parcial ∂Q/∂y nós teremos apenas 2y. Então, são estas aqui as 4 possíveis derivadas parciais. Vamos, agora, voltar à nossa representação gráfica e ver se conseguimos entender como essas 4 parciais aqui influenciam o nosso campo vetorial. Vamos focar aqui um ponto, beleza, um vetor em específico para desenvolvermos o raciocínio, e vamos escolher este vetor circulado em amarelo, que é um vetor que possui a sua origem diretamente no eixo "x", então, podemos dizer que o seu ponto "y'' é igual a zero e "x" é um número positivo, digamos aqui que ''x = 2". O par ordenado que estamos observando aqui é o par (2, 0). Então, vamos calcular os valores para as 4 parciais. Para esta primeira derivada parcial, nós teremos de valor zero, para esta segunda aqui, que é o ∂P/∂y, teremos 2, para ∂Q/∂x teremos -4, e a última derivada parcial será igual a zero. Vamos primeiro olhar apenas para parcial de "P" em relação a "x". E o que significa? Que estamos analisando como que a componente horizontal desses vetores muda quando variamos apenas o parâmetro "x" da nossa função e deixamos o valor fixado para "y". Então, aqui no gráfico, estamos pensando no movimento no sentido "+x" aqui, desenhado em verde, então, nós queremos olhar para os vetores vizinhos nessa direção, e considerar o que está acontecendo com a componente horizontal desses vetores. E estes 3 vetores não possuem componente horizontal. Você pode ver que, conforme você se move para a direita, esses vetores continuam não possuindo a componente horizontal. Todos os vetores apontam puramente para baixo, o que faz sentido, já que a nossa derivada é zero, ou seja, não há mudança na componente horizontal dos vetores resultantes de "P''. Agora nós iremos realizar o mesmo raciocínio para as outras 3 derivadas parciais. Olhando para ∂P/∂y, esta deve ser positiva, ou seja, a componente horizontal dos vetores resultantes são positivas conforme você se move aqui para cima no nosso gráfico. Vamos pegar o mesmo vetor circulado em amarelo, só que dessa vez nós iremos considerar apenas os vetores vizinhos aqui na vertical, já que estamos analisando a mudança do parâmetro "P" em relação ao deslocamento vertical do nosso par ordenado. Podemos notar aqui a mudança, já que o vetor anterior a este, circulado em vermelho, aponta para a esquerda, isto é, aponta para "-x". Já o vetor original da análise, este circulado em amarelo, não possui componente vertical, já que ele aponta só para baixo. Por último, o vetor subsequente ao escolhido aponta para a direita, ou seja, aponta para o sentido "+x". Podemos dizer que conforme o parâmetro "y" cresce, a componente horizontal dos nossos vetores também cresce. E novamente, essa interpretação faz sentido, pois se voltarmos ao cálculo dessa parcial, podemos ver que resulta em um valor positivo. Então, vamos aqui repetir o raciocínio para derivadas. Esta aqui, ∂Q/∂x está nos dizendo como a componente vertical do nosso vetor muda conforme você se desloca na direção "x", beleza? Então, voltando ao gráfico, novamente, olhando os vetores vizinhos, e conforme nós nos movemos aqui na horizontal, podemos ver que os vetores aumentam o seu módulo, só que para baixo, ou seja, somente a componente vertical desses vetores está diminuindo, conforme aumentamos o valor de "x". E novamente, essa interpretação faz sentido. Por último mas não menos importante, iremos analisar ∂Q/∂y. Novamente, voltando aqui para o nosso gráfico, olhando os vetores vizinhos na vertical àquele que escolhermos, vemos que conforme "y" varia, não há mudança nenhuma na componente vertical dos vetores. Você pode ver isso pois não há mudança de tamanho na vertical para esses vetores. E, novamente, esse resultado se alinha com a nossa predição, já que calculamos que ∂Q/∂y é zero. Galera, esse tipo de análise aqui que fizemos é imprescindível para que entendamos a fundo uma derivada parcial de um campo vetorial. E, com esse assunto, nós encerramos o curso sobre derivadas parciais vetoriais. Porém, iremos utilizar os conceitos obtidos neste curso para explicar outros conceitos mais complexos no futuro. Então, é isso, galera. Nos vemos aqui pela Khan Academy.