Visualização da multiplicação de números complexos

Até agora já sabemos multiplicar dois números complexos, tanto na forma retangular como na forma polar. Especificamente, a forma polar nos diz que multiplicamos magnitudes e somamos ângulos:

Uma grande vantagem de entender a multiplicação de números complexos em função da representação polar de números é conseguir visualizar o que está acontecendo.

O que acontece quando multiplicamos todos os pontos do plano complexo por algum número complexo $z$‍? Se $z$‍ tem a forma polar $r(\cos (\theta )+i\mathrm{sen}(\theta ))$‍, a regra descrita acima nos diz que cada ponto no plano será dimensionado em um fator de $r$‍ e rotacionado em um ângulo igual a $\theta$‍.

Para $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\mathrm{sen}({30}^{\circ }))$‍, multiplicar por $z$‍ dimensionaria tudo em um fator de $2$‍, rotacionando, ao mesmo tempo, em ${30}^{\circ }$‍, dessa forma:

Para $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍, o valor absoluto de $z$‍ é

e seu ângulo é $-{45}^{\circ }$‍, então multiplicar por $z$‍ dimensionaria tudo em um fator de ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,471}$‍, o que resultaria em uma contração, rotacionando, ao mesmo tempo, em $-{45}^{\circ }$‍ sobre a origem, que é uma rotação no sentido horário.

Para $z=-2$‍, cujo valor absoluto é $2$‍ e cujo ângulo mede ${180}^{\circ }$‍, a multiplicação rotaciona em meio giro sobre a origem, ampliando em um fator de $2$‍.

Outra maneira de entender essas transformações, e a multiplicação de números complexos em geral, é colocar uma marca no número $1$‍, e uma no número $z$‍, e observar que multiplicar por $z$‍ arrasta o ponto de $1$‍ para o ponto onde $z$‍ começou, já que $z\cdot 1=z$‍. Claramente, é preciso fazer isso de uma maneira que corrija a origem, já que $z\cdot 0=0$‍.

É interessante como fatos simples como $z\cdot 1=z$‍ e $z\cdot 0=0$‍ podem ser tão úteis na visualização da multiplicação de números complexos!

Vamos ver o que acontece quando multiplicamos o plano por algum número complexo $z$‍ e, depois, multiplicamos o resultado por seu conjugado, $\overline{z}$‍:

Se o ângulo de $z$‍ for $\theta$‍, o ângulo do conjugado complexo $\overline{z}$‍ será $-\theta$‍; assim, as sucessivas multiplicações não terão nenhuma rotação total. Podemos ver isso pelo fato de que o ponto que começou em $1$‍ acaba na reta numérica real positiva.

E quanto à magnitude? Ambos os números têm o mesmo módulo, $|z|=|\overline{z}|$‍, então o efeito total de multiplicar por $z$‍ e então por $\overline{z}$‍ é ampliar tudo por um fator de $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍.

Evidentemente, este fato é simples o bastante para ser percebido nas fórmulas, já que $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍, mas pode ser esclarecedor vê-lo na prática!

O que acontece se dividirmos todos os números do plano complexo por $z$‍? Se $z$‍ tiver ângulo igual a $\theta$‍ e valor absoluto $r$‍, então, a divisão faz o contrário da multiplicação: Ela rotaciona tudo em $-\theta$‍ e redimensiona por um fator de ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ (o que significa encolher por um fator de $r$‍).

O ângulo de $\sqrt{3}+i$‍ é ${30}^{\circ }$‍, e seu valor absoluto é $2$‍; então tudo é rotacionado em $-{30}^{\circ }$‍, que é no sentido horário, e redimensionado por um fator de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ (o que significa encolher por um fator de $2$‍).

O ângulo de ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ é $-{45}^{\circ }$‍, e seu valor absoluto é

Então, agora, tudo é rotacionado em $+{45}^{\circ }$‍ e dimensionado em um fator de ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx \mathrm{2,121}$‍.

Você deve ter percebido que, nessas divisões, é como se pegássemos o ponto que está em $z$‍ e o colocássemos sobre $1$‍.

Para calcular ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍, sendo $z=a+bi$‍ e $w=c+di$‍, aprendemos a multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado complexo de $w$‍, $\bar{w}=c-di$‍.

Em outras palavras, dividir por $w$‍ é o mesmo que multiplicar por ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍. Existe uma maneira visual de entender isso?

Suponha que $w$‍ tenha um ângulo $\theta$‍ e valor absoluto $r$‍, então, para dividir por $w$‍, precisamos rotacionar em $-\theta$‍ e dimensionar por ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍. Como $\bar{w}$‍, o conjugado, tem o ângulo oposto de $w$‍, multiplicar por $\bar{w}$‍ rotacionará em $-\theta$‍, como queremos. No entanto, multiplicar por $\bar{w}$‍ dimensiona tudo em um fator de $r$‍, sendo que precisamos seguir outro caminho, então dividimos por $r^2=|w{|}^2$‍ para corrigir.

Por exemplo, isso é o que acontece quando dividimos diretamente por $1+2i$‍:

E isso é o que acontece quando multiplicamos primeiro por seu conjugado, $1-2i$‍, e, depois, dividimos pelo quadrado de sua magnitude, $|1+2i{|}^2=5$‍.

O resultado final de ambos é o mesmo.