Olá, essa plataforma tem me ajudado bastante a aprender, gostaria de saber se tem uma aula específica onde eu consigo saber a função tendo como base somente o desenho no gráfico.

Aqui: https://pt.khanacademy.org/math/algebra

O problema 5 não mostrou valores, mostrou apenas o (f º g)(t) somente mostra valores ao pedir dicas

Os valores das funções usadas nas questões 4 e 5 estão logo acima da questão 4, como o exercício avisou.

Conteúdo principal

Funções compostas

Exemplos com passo a passo, explicações e problemas práticos para aprender a encontrar e calcular funções compostas.

Dadas duas funções, podemos combiná-las de maneira que as saídas de uma função se tornem as entradas da outra. Isso define uma função composta. Vamos ver o que isso significa!

Calculando funções compostas

Exemplo

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

, então quanto é

f (g (3))

Solução

Uma forma de calcular

f (g (3))

é fazer os cálculos de "dentro para fora". Em outras palavras, vamos calcular

g (3)

primeiro e então substituir esse resultado em

f

para encontrar nossa resposta.

Vamos calcular

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (3) & = (3)^{3} + 2 Insira x = 3. \\ = 29 \end{aligned}$ ‍

Como

g (3) = 29

, então

f (g (3)) = f (29)

Agora, vamos calcular

f (29)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (29) & = 3 (29) - 1 Insira x = 29. \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Temos que

f (g (3)) = f (29) = 86

Encontrando a função composta

No exemplo acima, a função

g

levou de

3

para

29

, e então a função

f

levou de

29

para

86

. Vamos encontrar a função que leva

3

diretamente para

86

Para isso, precisamos compor as duas funções e encontrar

f (g (x))

Exemplo

Quanto é

f (g (x))

?
Como referência, lembre-se de que $f (x) = 3 x - 1$ ‍ e $g (x) = x^{3} + 2$ ‍.

Solução

Se analisarmos a expressão

f (g (x))

, veremos que

g (x)

é a entrada da função

f

. Então, vamos substituir

g (x)

sempre que virmos

x

na função

f

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \end{aligned}$ ‍

Como

g (x) = x^{3} + 2

, podemos substituir

x^{3} + 2

por

g (x)

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 (g (x)) - 1 \\ = 3 (x^{3} + 2) - 1 \\ = 3 x^{3} + 6 - 1 \\ = 3 x^{3} + 5 \end{aligned}$ ‍

Essa nova função deve levar

3

diretamente para

86

. Vamos verificar.

$\begin{aligned} f (g (x)) & = 3 x^{3} + 5 \\ f (g (3)) & = 3 (3)^{3} + 5 \\ = 86 \end{aligned}$ ‍

Excelente!

Vamos praticar

Problema 1

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{3} + 2

Calcule $g (f (1))$ ‍.

Para calcular

g (f (1))

, vamos trabalhar de "dentro para fora".

Vamos calcular

f (1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 1 \\ f (1) & = 3 (1) - 1 Insira x = 1. \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Como

f (1) = 2

, então

g (f (1)) = g (2)

Agora, vamos calcular

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = x^{3} + 2 \\ g (2) & = (2)^{3} + 2 Insira x = 2. \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Então, temos que

g (f (1)) = g (2) = 10

Também poderíamos encontrar

g (f (x))

e calcular para

x = 1

Problema 2

m (x) = 3 x - 2

n (x) = x + 4

Encontre $m (n (x))$ ‍.

Funções compostas: uma definição formal

No exemplo acima, encontramos e calculamos uma função composta.

Em geral, para indicar a função

f

composta com a função

g

, podemos escrever

f \circ g

, que é lido como "

f

composta com

g

". Essa composição é definida pela seguinte regra:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ ‍

O diagrama abaixo mostra a relação entre

(f \circ g) (x)

f (g (x))

Agora, vamos ver outro exemplo com essa nova definição em mente.

Exemplo

g (x) = x + 4

h (x) = x^{2} - 2 x

Encontre

(h \circ g) (x)

(h \circ g) (- 2)

Solução

Podemos encontrar

(h \circ g) (x)

como visto a seguir:

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = h (g (x)) & Defina. \\ = (g (x))^{2} - 2 (g (x)) & Insira g (x) para x na função h . \\ = (x + 4)^{2} - 2 (x + 4) & Substitua g (x) por x + 4. \\ = x^{2} + 8 x + 16 - 2 x - 8 & Distribua. \\ = x^{2} + 6 x + 8 & Combine termos semelhantes. \end{aligned}$ ‍

Como agora temos a função

h \circ g

, podemos simplesmente substituir

- 2

por

x

para encontrar

(h \circ g) (- 2)

$\begin{aligned} (h \circ g) (x) & = x^{2} + 6 x + 8 \\ (h \circ g) (- 2) & = (- 2)^{2} + 6 (- 2) + 8 \\ = 4 - 12 + 8 \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Claro, também poderíamos ter encontrado

(h \circ g) (- 2)

calculando

h (g (- 2))

. Isso é mostrado abaixo:

$\begin{aligned} (h \circ g) (- 2) & = h (g (- 2)) \\ = h (2) Como g (- 2) = - 2 + 4 = 2 \\ = 0 Como h (2) = 2^{2} - 2 (2) = 0 \end{aligned}$ ‍

O diagrama abaixo mostra como

(h \circ g) (- 2)

se relaciona com

h (g (- 2))

Aqui, podemos ver que a função

g

leva de

- 2

para

2

e que a função

h

leva de

2

para

0

, embora a função

h \circ g

leve

- 2

diretamente para

0

Agora, vamos praticar com alguns problemas

Problema 3

f (x) = 3 x - 5

g (x) = 3 - 2 x

Calcule $(g \circ f) (3)$ ‍.

Primeiro, vamos usar a definição da composição de funções para reescrever o problema como

g (f (3))

Para calcular

g (f (3))

, vamos trabalhar de "dentro para fora".

Vamos calcular

f (3)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x - 5 \\ f (3) & = 3 (3) - 5 Insira x = 3. \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Como

f (3) = 4

, então

g (f (3)) = g (4)

Agora, vamos encontrar

g (4)

$\begin{aligned} g (x) & = 3 - 2 x \\ g (4) & = 3 - 2 (4) Insira x = 4. \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Então, temos que

g (f (3)) = g (4) = - 5

Também poderíamos encontrar

g (f (x))

e calcular para

x = 3

Nos problemas 4 e 5, sejam

f (t) = t - 2

g (t) = t^{2} + 5

Problema 4

Encontre $(g \circ f) (t)$ ‍.

Usando a definição de composição de funções, podemos primeiro reescrever

(g \circ f) (t)

como

g (f (t))

Agora, se analisarmos a expressão

g (f (t))

, veremos que

f (t)

é a entrada da função

g

. Então, vamos substituir

f (t)

sempre que virmos

t

na função

g

$\begin{aligned} g (t) & = t^{2} + 5 \\ g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \end{aligned}$ ‍

Como

f (t) = t - 2

, podemos substituir

t - 2

por

f (t)

$\begin{aligned} g (f (t)) & = (f (t))^{2} + 5 \\ = (t - 2)^{2} + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 4 + 5 \\ = t^{2} - 4 t + 9 \end{aligned}$ ‍

Problema 5

Encontre $(f \circ g) (t)$ ‍.

Usando a definição de composição de funções, podemos primeiro reescrever

(f \circ g) (t)

como

f (g (t))

Agora, se analisarmos a expressão

f (g (t))

, veremos que

g (t)

é a entrada da função

f

. Então vamos substituir

g (t)

sempre que virmos

t

na função

f

$\begin{aligned} f (t) & = t - 2 \\ f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \end{aligned}$ ‍

Como

g (t) = t^{2} + 5

, podemos substituir

t^{2} + 5

por

g (t)

$\begin{aligned} f (g (t)) & = (g (t)) - 2 \\ = (t^{2} + 5) - 2 \\ = t^{2} + 5 - 2 \\ = t^{2} + 3 \end{aligned}$ ‍

Desafio

Os gráficos das equações

y = f (x)

y = g (x)

são mostrados na malha abaixo.

Qual das seguintes opções melhor aproxima-se ao valor de $(f \circ g) (8)$ ‍?

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Gabriel
Publicado há há 8 meses. Link direto para a postagem “Olá, essa plataforma tem ...” de Gabriel
Olá, essa plataforma tem me ajudado bastante a aprender, gostaria de saber se tem uma aula específica onde eu consigo saber a função tendo como base somente o desenho no gráfico.
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- Rodrigo
  Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “Aqui: https://pt.khanacad...” de Rodrigo
  Aqui: https://pt.khanacademy.org/math/algebra
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gustavoleixa
Publicado há há 3 meses. Link direto para a postagem “Eu me perdi um pouco no P...” de gustavoleixa
Eu me perdi um pouco no Problema 4: numa parte do cálculo é usado Produtos Notáveis, exatamente quando temos que calcular (t-2)^2 , eu não entendi porquê "-4t" fica negativo, a conta é "-2t(-2)"?
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Gabriel Camelo
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “O gráfico do desafio fina...” de Gabriel Camelo
O gráfico do desafio final não apareceu pra mim.
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- Matheus
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “geralmente quando eu atua...” de Matheus
  geralmente quando eu atualizo a página ou troco de navegador, funciona
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cristiano santos
Publicado há há um mês. Link direto para a postagem “eu entendi o raciocínio p...” de cristiano santos
eu entendi o raciocínio porem bugo na hora de armar e fazer devidas substituições e nao sei se leio corretamente a bolinha aberta de g * h so suponho q seja multiplicação deveria ter legenda dizendo oq é
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Resposta
Saymon Alecsander
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “O problema 5 não mostrou ...” de Saymon Alecsander
O problema 5 não mostrou valores, mostrou apenas o (f º g)(t)
somente mostra valores ao pedir dicas
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Resposta
- Gabriel Pinto Teixeira
  Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “Os valores das funções us...” de Gabriel Pinto Teixeira
  Os valores das funções usadas nas questões 4 e 5 estão logo acima da questão 4, como o exercício avisou.
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