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Curso: Pré-cálculo > Unidade 1

Lição 3: Funções inversíveis

Introdução às funções inversíveis

Google Sala de Aula

Nem todas as funções têm inversas. Aquelas que realmente são chamadas de "inversíveis." Saiba como podemos dizer se uma função é inversível ou não.

Funções inversas, no sentido geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se

f

leva

a

para

b

, então a inversa,

f^{- 1}

, deve levar

b

para

a

Todas as funções têm uma função inversa?

Considere a função finita

h

definida pela tabela a seguir.

$x$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$h (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍

Podemos criar um diagrama de flechas para a função

h

Agora, vamos reverter o mapeamento para encontrar a inversa,

h^{- 1}

Observe aqui que

h^{- 1}

mapeia a entrada de

2

para duas saídas diferentes:

1

3

. Isso significa que

h^{- 1}

não é uma função.

Como a inversa de

h

não é uma função, dizemos que

h

não é inversível.

Em geral, uma função é inversível somente se cada entrada tem uma única saída. Isto é, cada saída está pareada com exatamente uma entrada. Dessa forma, quando o mapeamento for revertido, ela ainda será uma função!

Temos aqui um exemplo de uma função inversível

g

. Observe que a inversa é de fato uma função.

Teste seu conhecimento

f

é uma função finita que está definida por essa tabela.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍	$6$ ‍

$f$ ‍ é uma função inversível?

g

é uma função finita que está definida por essa tabela.

$x$ ‍	$2$ ‍	$5$ ‍	$8$ ‍	$10$ ‍	$19$ ‍
$g (x)$ ‍	$- 2$ ‍	$- 3$ ‍	$- 2$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

$g$ ‍ é uma função inversível?

Desafio

3*) $f (x) = x^{2}$ ‍ é uma função inversível?

Podemos criar uma tabela de valores parcial para a função

f (x) = x^{2}

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$2$ ‍
$f (x)$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍

A partir da tabela, vemos que

f (- 2) = 4

f (2) = 4

. Isso mostra que cada entrada não tem uma única saída, por isso

f

não é inversível.

(Observação: você também poderia fazer um argumento semelhante com outras saídas!)

Funções inversíveis e seus gráficos

Considere o gráfico da função

y = x^{2}

Sabemos que uma função é inversível se cada entrada tem uma única saída. Ou, em outras palavras, se cada saída está pareada a exatamente uma entrada.

Mas esse não é o caso de

y = x^{2}

Pegue a saída

4

, por exemplo. Observe que, desenhando a reta

y = 4

, você pode ver que há duas entradas,

2

- 2

, associadas à saída de

4

De fato, se você deslizar a reta horizontal para cima e para baixo, você vai ver que a maioria das saídas estão associadas a duas entradas! Então, a função

y = x^{2}

não é uma função inversível.

Ao contrário, considere a função

y = x^{3}

Se pegarmos uma reta horizontal e a deslizarmos de cima para baixo no gráfico, ela sempre intercepta a função em apenas um ponto!

Isso significa que cada saída corresponde a exatamente uma entrada. Em outras palavras, cada entrada tem uma única saída. A função

y = x^{3}

é inversível.

O raciocínio acima descreve o que é chamado de teste da reta horizontal: em geral, uma função

f

é inversível se ela passa no teste da reta horizontal.

Lembre-se de que uma função e sua inversa são reflexões sobre a reta

y = x

Veja o que acontece quando

y = x^{2}

é refletida sobre a reta

y = x

Temos uma relação que não é uma função, porque a inversa não passa no teste da reta vertical!

Em geral, se uma reta horizontal intercepta o gráfico de uma função em mais de um lugar, uma reta vertical vai interceptar o gráfico de sua reflexão sobre

y = x

em mais de um lugar. Isso significa que a inversa não será uma função.

Ao contrário, a reflexão de

y = x^{3}

passa no teste da reta vertical, e portanto

y = x^{3}

é inversível.

Teste seu conhecimento

4) $g$ ‍ é inversível?

Para determinar se uma função é inversível, precisamos decidir se cada entrada tem uma saída única. Para isso, podemos imaginar que passamos uma reta horizontal pelo gráfico da função.

Especificamente, vamos imaginar uma reta horizontal em

y = 2

Observe que a reta

y = 2

intercepta o gráfico de

y = g (x)

em três lugares. Isso significa que há três entradas que têm uma saída de

2

. Então, cada entrada não tem uma saída única, e a função não é inversível.

Ou, poderíamos dizer que a função

y = g (x)

falha no teste da reta horizontal, e por isso não é inversível.

5) $h$ ‍ é inversível?

Para determinar se uma função é inversível, precisamos decidir se cada entrada tem uma saída única. Para isso, podemos imaginar que passamos uma reta horizontal pelo gráfico da função.

Se pegarmos uma reta horizontal e a deslizarmos de cima para baixo no gráfico, ela sempre intercepta a função em apenas um ponto! Isso significa que cada entrada tem uma única saída e a função é inversível.

Ou, poderíamos dizer que a função passa no teste da reta horizontal, e por isso é inversível.

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Publicado há há 5 dias. Link direto para a postagem “Jesus te ama! Não desista...” de carolinaasntsolv
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