Conteúdo principal

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 5: Propriedades da soma de matrizes e multiplicação escalar

Propriedades da soma de matrizes

Descubra as propriedades da soma de matrizes (como a propriedade comutativa) e como elas se relacionam à soma de números reais.

Na tabela abaixo,

A

B

C

são matrizes de dimensões iguais.

Propriedade	Exemplo
Propriedade comutativa da adição	$A + B = B + A$ ‍
Propriedade associativa da adição	$A + (B + C) = (A + B) + C$ ‍
Propriedade do elemento neutro da adição	Para qualquer matriz $A$ ‍, existe uma única matriz $O$ ‍ de tal modo $A + O = A$ ‍.
Propriedade da inversa aditiva	Para cada $A$ ‍, existe uma única matriz $- A$ ‍ de tal modo $A + (- A) = O$ ‍.
Propriedade do fechamento da adição	$A + B$ ‍ é uma matriz de mesma dimensão de $A$ ‍ e $B$ ‍.

Esse artigo explora essas propriedades da adição de matrizes.

Matrizes e adição de matrizes

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas. As dimensões de uma matriz fornecem o número de linhas e de colunas da matriz nessa ordem. Como a matriz

A

tem

2

linhas e

3

colunas, ela é chamada de matriz

2 \times 3

Para somar duas matrizes de mesma dimensão, simplesmente some os elementos das posições correspondentes.

$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 8 & 9 \\ 10 & 5 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Se algo disso é novo para você, confira os artigos a seguir antes de continuar:

Considerações sobre dimensões

Observe que a soma de duas matrizes

2 \times 2

é outra matriz

2 \times 2

. Geralmente, a soma de duas matrizes

m \times n

é outra matriz

m \times n

. Isso descreve a propriedade do fechamento da adição de matrizes.

Se as dimensões de duas matrizes não são iguais, a soma não é definida. Isso acontece porque, se

A

é uma matriz

2 \times 3

B

é uma matriz

2 \times 2

, então alguns elementos na matriz

A

não terão elementos correspondentes na matriz

B

$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 7 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = indefinida \end{aligned}$ ‍

Adição de matrizes e adição de números reais

Como a adição de matrizes se apoia muito na adição de números reais, muitas das propriedades da adição que sabemos serem verdadeiras para números reais, também o são para matrizes.

Vamos analisar cada propriedade individualmente.

Propriedade comutativa da adição: $A + B = B + A$ ‍

Esta propriedade afirma que você pode somar duas matrizes em qualquer ordem e obter o mesmo resultado.

Isto se equipara à propriedade comutativa da adição para números reais. Por exemplo,

3 + 5 = 5 + 3

O exemplo a seguir ilustra essa propriedade das matrizes.

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 5 + 3 & 2 + 7 \\ 8 + 2 & 1 + 4 \end{array}] & (A adição de números reais é comutativa.) \\ = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \end{aligned}

Observe como a propriedade comutativa da adição para matrizes se mantém graças à propriedade comutativa da adição para números reais!

Propriedade associativa da adição: $(A + B) + C = A + (B + C)$ ‍

Essa propriedade afirma que você pode alterar o agrupamento em uma adição de matrizes e obter o mesmo resultado. Por exemplo, você pode somar a matriz

A

à matriz

B

primeiro, e depois somar a matriz

C

, ou, você pode somar a matriz

B

à matriz

C

, e então somar esse resultado à matriz

A

Esta propriedade se equipara à propriedade associativa da adição para números reais. Por exemplo,

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Vamos legitimar essa propriedade das matrizes com um exemplo.

Em cada coluna simplificamos um lado da identidade em uma única matriz. As duas matrizes resultantes são equivalentes graças à propriedade associativa da adição de números reais. Por exemplo,

(5 + 3) + 1 = 5 + (3 + 1)

Devido a essa propriedade, podemos escrever uma expressão como

A + B + C

e tê-la completamente definida. Não precisamos de parênteses para indicar qual adição calcular primeiro, já que isso não importa!

Propriedade do elemento neutro da adição: $A + O = A$ ‍

Uma matriz nula, denominada

O

, é uma matriz em que todos os elementos são iguais a

0

Observe que, quando uma matriz nula é somada a qualquer matriz

A

, o resultado é sempre

A

$[\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}]$ ‍
$[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}]$ ‍

Esses exemplos ilustram o significado da propriedade do elemento neutro; o de que a soma de qualquer matriz

A

à matriz nula apropriada é a matriz

A

A matriz nula pode ser comparada ao número zero do conjunto dos números reais. Para todos os números reais

a

, sabemos que

a + 0 = a

. O número

0

é o elemento neutro do conjunto dos números reais, assim como

O

é o elemento neutro das matrizes.

Propriedade da inversa aditiva: $A + (- A) = O$ ‍

A oposta de uma matriz

A

é a matriz

- A

, em que cada elemento nessa matriz é o oposto do elemento correspondente na matriz

A

Por exemplo, se

A = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}]

, então

- A = [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}]

Se somarmos

A

- A

obteremos uma matriz nula, o que demonstra a propriedade da inversa aditiva.

$\begin{aligned} A + (- A) & = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} - 2 + 2 & 8 + (- 8) \\ - 3 + 3 & 1 + (- 1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

A soma de um número real e seu oposto é sempre

0

, então a soma de qualquer matriz e sua oposta resulta em uma matriz nula. Em decorrência disso, nos referimos a matrizes opostas como inversas aditivas.

Teste seu conhecimento

Para os problemas abaixo, considere

A

B

C

matrizes

2 \times 2

1) Quais das seguintes expressões matriciais são equivalentes a $(A + B) + C ?$ ‍

Uma vez que a adição de matrizes é associativa, sabemos que

(A + B) + C = A + (B + C)

Já que o agrupamento de um problema de adição não é relevante, as expressões acima também são iguais a

A + B + C

Ao utilizar as propriedades comutativa e associativa da adição de matrizes, também podemos mostrar que

(A + B) + C = (C + A) + B

$\begin{aligned} (A + B) + C & = A + (B + C) & Propriedade associativa da adição de matrizes \\ = A + (C + B) & Propriedade comutativa da adição de matrizes \\ = (A + C) + B & Propriedade associativa da adição de matrizes \\ = (C + A) + B & Propriedade comutativa da adição de matrizes \end{aligned}$ ‍

(A + C) + (B + C)

não é equivalente às outras expressões, uma vez que existe um

C

a mais adicionado à expressão.

As seguintes expressões são equivalentes a

(A + B) + C

$A + (B + C)$ ‍
$(C + A) + B$ ‍
$A + B + C$ ‍

2) Quais das seguintes expressões matriciais são equivalentes a $(A + (- A)) + B$ ‍?
Lembre-se de que $A$ ‍ e $B$ ‍ são matrizes $2 \times 2$ ‍.

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Pré-cálculo