Fórmula da progressão aritmética

RKA1JV - Neste vídeo, vamos ver uma progressão aritmética e a soma dos termos de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é algo do tipo: primeiro termo sendo “a”, o segundo termo vai ser “a” mais uma razão, o terceiro termo vai ser “a” mais duas vezes essa razão. O quarto termo vai ser “a” mais três vezes essa razão, e assim sucessivamente até o último termo. Nós vemos que esse é o nosso primeiro termo, “a₁”, esse é o nosso “a₂”, esse é nosso “a₃”, esse é o nosso “a₄”. E vemos que estamos somando a quantidade de “r” com índice inferior à posição do termo na progressão aritmética. Ou seja, quando o primeiro termo é 1, não somamos “r” nenhum, quando o termo é 2, somamos um “r” apenas, quando o termo é 3, somamos dois “r”. Ou seja, sempre somamos uma quantidade de “r” menos o número de termos. Portanto, o último termo será “a” mais (n – 1) vezes “r”. E esse é o termo “aₙ”. Como vamos somar todos os termos? A soma de todos os termos, vamos chamar de Sn, vai ser "a + a + r + a + 2r + a + 3r... + a + (n – 1) r". Para efeito de nós chegarmos a uma solução geral, vamos colocar a mesma soma de forma contrária, ou seja começamos do último termo para o primeiro. Ou seja, nós vamos fazer “a + (n – 1) r", mais, no caso, vai ser “a + (n – 2) r", mais, até que chegamos ao primeiro termo, que é “a”. Podemos ver um padrão aqui, e que padrão é esse? Se somarmos as duas sequências, vamos ter Sn mais Sn, vamos ter 2Sn. Ao somarmos “a + a (n – 1) r”, vamos ter “2a + (n – 1) r. Quando somamos o segundo termo, o que é que nós temos? Nós temos um padrão aqui: “a” mais “a”, nós vamos ter “2a”. O que significa “r + (n – 2) r” Ora, “r + (n – 2) r”, nós podemos abrir parênteses, fica “r + nr – 2r” e “r - 2r” vai ficar “-r”. Então, nós temos “nr – r”. Colocando “r” em evidência, vamos ter um “n – 1”, ou seja, quando realizarmos essa soma, vamos ter “(n - 1)r”. E esse padrão se repete, pois quando somarmos “2r” com “n – 3”, vamos encontrar também “(n -1) r”. Até o último termo que nós vamos somar o “a + (n - 1) r, vamos ficar com “2a + (n – 1) r”. Quantas vezes esse termo vai aparecer? “2a + (n – 1)r ”? No primeiro termo, ele vai aparecer uma vez, aqui é o segundo termo, até o enésimo termo, ou seja, nós vamos ter uma soma de “n” termos. Uma soma de “n” termos é a definição de multiplicação. Se você soma repetidas vezes um determinado número é a mesma coisa de multiplicar “n” vezes essa soma. Ou seja, “2a + (n - 1) r”, “n” vezes, é “2a + (n – 1)r + 2a (n - 1)r... até “2a + (n – 1)r , “n” vezes. Portanto, “n” vezes isso aqui. Nós temos, agora, uma fórmula geral. Passando o 2 dividindo, nós temos “n = 2a + (n - 1)r", tudo sobre 2. Esta é a fórmula geral da soma. Agora, será que nós podemos simplificar? Vamos fazer um artifício para simplificar e ficar mais fácil de memorizar. Nós temos “n” termos, esse “a”, vamos abrir como “a + a”, nós temos 2a, mais “n – 1” vezes “r”. Isso tudo dividido por 2. Ora mas quem é esse termo “a”? Esse termo “a”, vamos reescrever aqui. Esse termo “a” é o nosso primeiro termo, é o nosso “a₁”, e esse termo “a + (n – 1) r” é o nosso aₙ, é o nosso último termo. Portanto, basta somar o primeiro termo com o último termo dividido por 2. E tudo isso multiplicado por “n”. Com isso, nós temos uma equação geral para a soma de uma progressão aritmética.