Identidades trigonométricas de soma de ângulos

RKA8JV - Olá! A razão pela qual eu estou fazendo esse vídeo aqui é porque eu estava fazendo alguns exercícios de cálculo que pediam certos conhecimentos de trigonometria, e aí eu senti a necessidade de fazer uma revisão, até para mim mesmo, para relembrar de todas as fórmulas que nós já conseguimos estudar aqui, de trigonometria. Então, é o que a gente vai ter nesse vídeo, uma revisão sobre as fórmulas de trigonometria, que eu já suponho que você saiba, eu já fiz vídeos sobre essas fórmulas anteriormente, então aqui é só uma revisão. E eu vou começar por qual fórmula? Eu vou começar pela seguinte: sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a). E aí, como eu já fiz um vídeo sobre isso, estou supondo que a gente já saiba o assunto, vamos dizer que eu queira, agora, determinar a medida de sen(a + (-c)), certo? Que é a mesma coisa que ''a" menos "c''. Vamos ver quanto isso vai ficar, isso vai ser igual a quanto? Ora, eu posso usar essa mesma forma aqui de cima, sim ou não? Isso vai ser igual então a sen(a) cos(-c) + sen(-c) cos(a). Uma coisa que nós já sabemos também, de vídeos anteriores, é o seguinte: é que o "cos(-c)" é igual ao "cos(c)'', certo? Portanto, essa função cosseno é uma função par, e eu posso ver isso através do gráfico da função cosseno, ou até mesmo no círculo unitário. Já a função seno é uma função ímpar, ou seja, o ''sen(-c)" é igual a "-sen(c)", certo? Ou seja, eu posso usar ambas as informações aqui para poder reescrever essa fórmula aqui de cima, certo? Ou seja, eu posso escrever sen(a - c) = sen(a) cos(c), já que "cos(-c)" é a mesma coisa que "cos(c)", então eu posso simplesmente substituir, menos, porque menos? Porque "sen(-c)" é igual a "-sen(c)", certo? Ele vai ficar com o sinal de menos aqui na frente, então menos né, isso aqui é a mesma coisa que isso aqui, então, -sen(c) cos(a). Pois bem, eu fiz uma pseudo prova dessa fórmula, e eu vou usar esses resultados para poder demonstrar as outras fórmulas de trigonometria que eu vou eu vou colocar agora no vídeo. A primeira delas vai ser a seguinte, vai ser o cos(a + b), que é igual a quê? Ora, isso é igual a ''cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b)'', certo? E se eu quiser saber agora quanto é o cos(a - b)? Ora, eu vou usar isso, que eu expliquei aqui em cima né, esses dois resultados aqui, do cos(-c) e do sen(-c). Olha, então isso vai ser a mesma coisa que ''cos(a) cos(b)", já que o "cos(-b)" é a mesma coisa que o ''cos(b)'', certo? Isso a gente deduziu aqui em cima, mas aqui, a gente vai ter sen(-b), sim ou não? Nesse caso da fórmula de baixo. E a gente viu aqui em cima que o sen(-c) é -sen(c), ou seja, o sen(-b) vai ser -sen(b). Se aqui vai ficar um número negativo e aqui eu tenho menos aqui na frente né, então ficar o que? Vai ficar positivo, então "+ sen(a) sen(b)'', beleza? Tem que tomar um pouquinho de cuidado aqui com essas duas fórmulas porque é o seguinte, aqui eu tenho o cos(a + b) e aqui eu tenho o sinal de menos, e aqui, eu tenho o sen(a - b) e aqui o sinal é de mais, então, tome cuidado. Mas eu não quero perder muito tempo aqui, porque a gente tem ainda um monte de identidades termométricas para ver. Vamos dizer que eu queira saber agora o cos(2a). Quanto vai dar isso? Deixa eu colocar entre parênteses aqui. O cos(2a) é o que? Ora, o cos(2a), todo mundo há de convir comigo, que é o cos(a + a), é ou não é? ''a + a'' dá 2a. Agora, veja se eu não posso usar essa fórmula aqui, né, essa identidade trigonométrica. Posso, né? Então, isso daqui vai ser o que? Isso vai ser igual ao ''cos(a) cos(a) - sen(a) sen(a)'', é ou não é? Pois nesse caso aqui o ''b'' é a mesma coisa que o ''a'' né, tá certo? Então, eu posso reescrever isso daqui tudo como, isso vai ser igual a quê? Ora, ''cos(a)" vezes "cos(a)'', estou multiplicando o cosseno por ele próprio, isso vai ser "cos²(a)", menos, ''sen(a) sen(a)'', mesma coisa, é o "sen²(a)", certo? Ou seja, já deduzimos que o cos(2a) é isso aqui, cos²(a) - sen²(a). Deixa só eu destacar aqui esse resultado que nós obtivemos, que agora eu vou fazer uma outra fórmula, que é o seguinte: sen²(a) + cos²(a) = 1. E isso vem aquele lá daquele círculo unitário, lembra da definição do circo unitário para tirar todas aquelas identidades trigonométricas, do seno, do cosseno, tudo mais? Isso aqui sai de lá, através do teorema de Pitágoras. Pois bem, então, eu posso reescrever isso daqui como sendo ''sen²(a) = 1 - cos²(a)''. Eu apenas subtraí, em ambos os lados, o "cos²(a)". Então, o que eu posso fazer? Eu posso pegar isso daqui, esse valor que eu descobri, e substituir aqui, ou seja, isso vai ser igual ao "cos²(a) - sen²(a)", mas o sen²(a) é isso aqui, é ou não é? Portanto, menos, fazer até de uma cor diferente, menos "1 - cos²(a)", certo? ou seja, isso aqui é o mesmo valor do sen²(a), certo? Ou seja, isso daqui é igual a cos²(a) - 1, mais, né, menos com menos aqui vai dar mais, cos²(a). Isso aqui vai ser igual a quanto? cos²(a) + cos²(a) vai dar 2 cos²(a) - 1, é ou não é? Isso vai ser igual a quê? Vai ser igual ao nosso cos(2a), lá do início né. Isso é cos(2a), certo? Então, deixa eu destacar aqui, essa é uma outra identidade nossa, beleza? Agora, é o seguinte, e se eu quiser saber quanto é cos²(a)? Mas vamos lá. Eu quero, agora, adicionar 1 em ambos os lados da igualdade, vamos ver quanto isso vai dar, né. Vai ser o seguinte: vou ter ''2cos²(a) = cos(2a) + 1''. E, se eu dividir em ambos os lados por 2, eu vou ter cos²(a), igual a 1/2, né, metade, já que o 2 está multiplicando, vai dividindo, estou dividindo os dois lados por 2, 1/2, vezes, vou reescrever isso daqui assim: (1 + cos(2a)), certo? E finalizamos aqui, temos uma outra identidade. Aqui, vou destacar para vocês, cos²(a) = 1/2 (1+ cos(2a)) Está aí. E se eu quiser agora saber o valor de sen²(a) através disso daqui? Eu posso voltar para essa equação né, que me diz que ''sen²(a) = 1 - cos²(a)''. Como nós já sabemos o valor do cos²(a), podemos substituir e calcular. Só que, nesse caso, eu vou fazer aqui em baixo, tá? Eu vou fazer o que? Eu vou subtrair, ambos os lados, por sen²(a), e somar, em ambos os lados, por cos²(a). O que eu vou ter, então? Eu vou ter que ''cos²(a) = 1 - sen²(a)'', é ou não é? Agora, eu posso reescrever essa equação aqui de cima da seguinte forma, olha só: cos(2a) vai ser igual a cos²(a), só que em vez de botar cos²(a), vou colocar isso daqui, 1 - sen²(a) - sen²(a), esse sen²(a) daqui né. Vai ficar assim. Então, aqui vai dar o seguinte: cos(2a) vai ser igual a 1, -sen²(a) - sen²(a), isso vai dar -2sen²(a), Então, aqui nós temos mais uma identidade, uma outra maneira de escrever "cos(2a)", é ou não é? Uma porção de maneiras diferentes aí para você. Agora, vou fazer o seguinte, dessa fórmula aqui dessa expressão, eu vou somar em ambos os lados por 2sen²(a). O que eu vou ter então? Eu vou ter seguinte: 2sen²(a) + cos(2a), certo? Aqui desse lado esquerdo, já estava aqui, igual a 1. Agora, subtraindo o cos(2a) em ambos os lados, eu vou ter o que? 2sen²(a) = 1 - cos(2a), não é isso? E finalmente, dividindo em ambos os lados por 2 eu vou ter que sen²(a) é a mesma coisa que a metade, né, 1/2, estou dividindo os dois lados por 2, metade de 1, menos o cos(2a). Olha aí, mais uma identidade para a nossa coleção, é ou não é? Está aí. É sempre interessante a gente observar as simetrias aqui, olha só. O cos²(a) e o sen²(a), as fórmulas são idênticas, com a exceção desse sinal de mais e desse sinal de menos aqui. Pois bem, agora que a gente descobriu um monte de maneiras diferentes de escrever o cos(2a), vamos ver se a gente consegue deduzir alguma coisa sobre o sen(2a). Então, eu vou ter o seguinte, eu vou escolher uma cor diferente aqui, né, eu já usei uma porção de cores. Pronto, posso usar essa aqui. O sen(2a) vai ser igual a quanto? Ora, isso é a mesma coisa que o sen(a +a), é ou não é? E aqui, eu posso usar aquela fórmula do sen(a + b). Isso é a mesma coisa, então, que ''sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a)'', certo? Como nós escrevemos a mesma coisa duas vezes, isso aqui vai ser igual a ''2sen(a) cos(a)'', certo? Portanto, o sen(2a) é igual a isso daqui, e essa é mais uma das nossas relações. Beleza? Bem, agora eu já fiquei um pouquinho cansado de fazer tanta conta com senos e cossenos, enfim. Eu espero que tenha sido útil para você, pois é uma boa revisão lá para o curso de cálculo, para você relembrar todas as identidades e conseguir deduzi-las também, se precisar. Você pode decorar se você quiser até, só que, o importante de você saber aqui, é que você pode deduzir todas essas fórmulas aqui. Se por acaso se esquecer delas, você pode simplesmente começar do zero e deduzi-las, como a gente fez aqui nesse vídeo, não é isso? Mas, você pode decorar tranquilamente também, se você quiser, se facilitar a sua vida. Mas inclusive, lá daquelas fórmulas iniciais, essas fórmulas aqui, eu tenho vídeos com demonstrações dessas fórmulas, então, você pode retornar aí, e se quiser demonstrar, está tudo aí na Khan Academy, beleza? Então, a gente se vê nos próximos vídeos. Abraço!