Direção de vetores a partir dos componentes: 3º e 4º quadrantes

RKA3JV - Neste vídeo de hoje, vamos continuar tentando determinar um ângulo que o vetor faz com o eixo "x" positivo. E hoje nós temos aqui dois vetores. O primeiro vetor é este vetor "a" aqui. Na notação de vetores unitários tem, -2i^ - 4j^. Ou seja, a gente tem aqui -2 multiplicando este vetor unitário no eixo "x", e -4 multiplicando este vetor unitário no eixo "y". É a mesma coisa que dizer que este vetor tem as componentes -2 e -4. Então, nós temos este vetor aqui. No eixo "x", a gente tem essa componente -2 e no eixo "y" a gente tem essa componente -4. Ok, assim como no vídeo anterior, nós vamos tentar determinar este ângulo aqui. E se você não viu esse vídeo, volte rapidinho e assista-o antes de assistir este vídeo, ok? A forma que aprendemos a determinar este ângulo θ, foi usando a função tangente. No caso do vídeo anterior, para a gente conseguir determinar esta tangente, a gente apenas pegou a componente "y" e dividiu pela componente "x". E a gente só conseguiu fazer isso, porque o vetor, em um determinado ângulo, faz uma interseção com aquele raio 1 de um círculo unitário . Ou seja, tanto o raio de uma circunferência unitária, quanto um vetor que tem o mesmo ângulo em relação ao eixo "x" positivo, terão a mesma tangente. Então, a tangente deste ângulo vai ser a componente "y", que neste caso aqui é -4, dividido pela componente "x", que neste caso aqui é -2. Ou seja, a tangente deste ângulo θ vai ser igual -4/-2, que é 2. Mas o nosso objetivo não é encontrar essa tangente, mas sim este ângulo θ. E uma forma de a gente determinar este ângulo θ, seria usando a função inversa da tangente. Ou seja, o arco tangente. Então, este ângulo θ vai ser a função inversa da tangente, que é a tangente elevado a -1, que é o "arctan", para você que está mais acostumado a usar dessa forma. Então, arctan de 2 dá um valor. Que o valor é esse? Não sei. Vamos determinar na calculadora. A gente vai vir aqui na calculadora, colocar a segunda função, ou seja, a função inversa aqui, e determinar aqui, neste caso, 2. O arctan de 2 é, aproximadamente, igual a 63,4. Então, nós temos que este ângulo θ é, aproximadamente, igual a 63,4 graus. Mas eu vou colocar um ponto de interrogação aqui. E por que eu coloquei este ponto de interrogação aqui? Se você reparar bem, até visualmente, vai perceber que este ângulo de 63,4 graus não chega nem perto de todo este ângulo aqui, que este vetor está fazendo com este "x" positivo, certo? Como a gente sabe, a função tangente é uma função que varia de -π/2 a π/2. Dessa forma, quando nós temos um vetor neste terceiro quadrante aqui, ele não vai dar para a gente o valor exato, ok? Na verdade, o que ele está fornecendo para a gente, seria um vetor que parte aqui da origem, e vem até esse ponto aqui, mais ou menos. Então, seria este vetor aqui, que tem este ângulo de 63,4 graus. Então, inclusive, a gente até pode colocar aqui que esse vetor está fazendo um ângulo de 63,4 graus. Algo, aproximadamente, igual a isso, ok? Em relação a este "x" positivo. No entanto, como a gente quer determinar este outro ângulo aqui, se você reparar bem, entre estes dois vetores aqui, tem 180 graus, que é justamente este lado oposto. Então, se a gente está aqui no terceiro quadrante, a gente sempre vai ter um vetor que vai ter 180 graus a mais, em relação a este vetor oposto. Então, se a gente quer determinar todo este outro ângulo aqui, deixe-me colocar essa informação aqui. Aqui a gente vai ter 180 graus. Então, se a agente quer determinar todo este outro ângulo aqui, vindo daqui até aqui, basta pegar este ângulo aqui e somar com 180. Assim, chegamos à conclusão que o ângulo θ que estamos procurando é, aproximadamente, igual a 63,4 + 180. E isso é igual a de 243,4 graus. Então, lembre-se, sempre que a gente estiver no terceiro quadrante e a gente usar essa função tangente, o ângulo que nós vamos encontrar aqui, a gente tem que somar com 180. E aí, sim, chegaremos ao ângulo exato em que este vetor está fazendo com o eixo "x" positivo. Ok, temos agora que o nosso outro vetor que é o vetor "b". E usando a notação dos vetores unitários, este vetor "b" é 4i^ - 6j^. Ou seja, as suas duas componentes são 4 no eixo "x" e -6 no eixo "y". Então, este vetor aqui se encontra neste quarto quadrante. Uma forma de a gente encontrar este ângulo θ positivo, o que nós estamos querendo encontrar tanto neste quanto neste, foi este θ positivo. Então, vamos lá! A gente, novamente, vai usar a função tangente. Então, a gente vai ter aqui a tangente de θ e a tangente de θ é a componente "y", que é -6, sobre a componente "x", que é 4. Usando novamente a função inversa, a gente vai chegar à conclusão que o ângulo θ é igual ao arctan, que é a função inversa da tangente, neste caso, de -6/4. E -6/4 é igual a -1,5. Então, vamos determinar isso aqui na calculadora agora, ok? A gente tem -1,5 e o arctan de -1,5 = -56,3 graus. Algo em torno disso. Então, este ângulo θ é, aproximadamente, igual a -56,3 graus. Agora, será que é isso mesmo? Bem, vamos colocar novamente este ponto de interrogação e vamos analisar onde o nosso vetor está. Como o nosso vetor está aqui no quarto quadrante e a função tangente é uma função que tem o domínio nestes dois quadrantes aqui, tanto no quarto quanto no primeiro, este ângulo que nós encontramos aqui não é este ângulo θ positivo, mas sim este ângulo aqui, que é negativo em relação ao eixo "x". Então, se a gente está no eixo "x" e andar com este vetor -56,3, a gente vai chegar exatamente onde ele se encontra, -56,3 graus. Então, não há nenhum erro nisso. Só que como nós estamos querendo determinar este ângulo θ positivo, a gente tem que trabalhar um pouco neste ângulo que nós encontramos, ok? Como a gente sabe, se a gente partir aqui deste ponto, vir aqui até onde o vetor está e continuar até voltar para este ponto, a gente dá uma volta completa. E uma volta completa tem 360 graus. Então, se a gente quer encontrar este ângulo θ, a gente precisa somar este ângulo que temos aqui, que este vetor está realizando com o eixo "x", com 360 graus. Vamos fazer isso. Então, este ângulo θ que nós estamos querendo encontrar, vai ser igual a -56,3 graus mais 360 graus. Na verdade, é aproximadamente igual, não é? Já que este valor aqui é um valor aproximado. Então, este ângulo θ vai ser aproximadamente igual a 303,7 graus. Então, este é o ângulo que nós estamos tentando encontrar. É muito importante que você sempre preste bastante atenção ao enunciado do problema. Neste caso, a gente estava tentando encontrar este ângulo θ positivo, em relação ao "x" positivo, ok? E não um ângulo qualquer. Se fosse um ângulo qualquer, este valor aqui já estaria certo, ok? Mas como a gente quer este ângulo positivo, a gente sempre precisa ficar atento e fazer estes ajustes quando for necessário. Eu espero que você tenha gostado deste vídeo, e nos vemos no próximo!