Comparação entre frações impróprias e números mistos

RKA - Tenho pares de números mistos e frações impróprias, e quero pensar qual das duas é a maior. Então, 1 e 7/8, 39/10. Você pode fazer de cabeça, pode dizer: "10 cabe em 39, 3 vezes, 3 vezes 10". Quero achar o maior número de vezes que 10 vai chegar mais próximo de 39, sem ultrapassar. Então, não poderia escrever 4 aqui, porque aí seria 40, ultrapassaria 39. 3 vezes 10 é 30, e você tem 9 de resto. Então, poderia reescrever essa expressão aqui, ao invés de 39/10, poderia escrever 30/10 mais 9/10. E 30/10 é 3, então, isso é igual a 3 e 9/10. E poderia fazer isso de cabeça, poderia dizer "10 cabe em 39, 3 vezes, e o resto é 9". Tem o seu 9/10, e é basicamente fazer isso de cabeça. Agora, podemos comparar, podemos olhar para a parte do número inteiro, isso é 1 e alguma coisa, 1 e 7/8, e estamos comparando, basicamente, com 3 e 9/10. 3 e 9/10, claramente, é um número maior, temos um 3 aqui, ao invés de 1. Escrevemos o sinal de menor, e lembre-se, o lado aberto sempre fica virado para o maior número. O aberto é maior, fica virado para o número maior, e o ponto pequeno sempre indica para o número menor. Agora, vamos fazer o próximo: 4 e 7/8 em relação a 49/9. Vamos converter isso para um número misto. 9 vai ser 49, 5 vezes. 5 vezes 9 é 45, então, o resto vai ser 4. Então, isso é 5 e 4/9. Mais uma vez, podemos olhar para a parte do número inteiro: 5, claramente, é maior que 4. Mais uma vez, o sinal de menor aponta para um número menor, e abre para o maior número. Agora, 2 e 1/2 em relação a 11/10. 10 cabe em 11 apenas uma vez. E, se quiser saber do resto, é 1. Então, é 1 e 1/10 que, claramente, é menor que 2 e 1/2. Se olhar para a parte dos números inteiros, 2 é maior que 1. Temos o sinal aberto para o número maior, então escreveríamos assim, 2 e 1/2 é maior que 11/10. O pequeno ponto apontando para o número menor. 5 e 4/9 em relação a 40/7. 7 cabe em 40, então deixa eu reescrever isso, 7 cabe em 40, vamos ver, 5 vezes. e vai ter um resto de 5, porque 7 vezes 5 é 35, você tem um resto de 5 para chegar a 40. É 5 e 5/7. Parece que estou fazendo algo, lembre-se, eu só estou quebrando tudo, só estou dizendo que 40/7 é a mesma coisa que 35 + 5/7. O maior múltiplo de 7 é menor que esse número, e isso é a mesma coisa que 35/7 + 5/7. E isso, 35/7 é 5, e 5/7 é só 5/7. Esse aqui é interessante, porque temos o mesmo número inteiro na frente dos números mistos, 5/5. Agora, temos que prestar atenção à parte fracionária dos nossos números mistos, essencialmente, temos que comparar 4/9 com 5/7. Existem algumas formas de fazer isso, poderia ter o mesmo denominador, é provavelmente a forma mais fácil de fazer. Poderia reescrever o menor múltiplo comum de 9 e 7. Eles não dividem fatores, então, realmente o menor múltiplo comum será seu produto. Se a gente quiser reescrever 4/9, escreveremos 63 no denominador, e então 9 vezes 7. Se multiplicarmos o denominador por 7, também temos que multiplicar o numerador por 7, e isso seria 28. Agora, 5/7, fazemos o denominador 63, multiplicamos o denominador vezes 9, e aí temos que multiplicar o numerador vezes 9 também. 5 vezes 9 é 45. E aqui, é fácil de ver, 45/63 claramente é maior que 28/63. A gente poderia escrever isso, porque a parte inteira dos números é a mesma, 5/7 é a mesma coisa que 45/63, e 4/9 é a mesma coisa que 28/63. Nós podemos escrever que 5 e 4/9 é menor que 40/7. Outra forma que poderia pensar em 4/9 em relação a 5/7 é dizendo como 4/9 se compara a 4/7. Temos o mesmo numerador, o denominador, aqui, é maior que o denominador, aqui, mas tem um número no denominador, o maior é da menor fração, o menor do valor absoluto da fração. Esse tem uma menor quantidade do que 4/7, e 4/7 é claramente menor do que a quantidade de 5/7. Ao final, então, 4/9 claramente é menor do que 5/7, e obtemos o mesmo resultado.