Reação de primeira ordem (com cálculo)

RKA4G - Vamos dizer que nós temos uma reação de primeira ordem, onde "A" se transforma em produtos. Quando o tempo é igual a zero, nós temos a concentração inicial de "A" e quando o tempo é igual a "t", nós temos a concentração de "A" nesse tempo "t". Vamos escrever a velocidade da nossa reação. No outro vídeo, nós dissemos que poderíamos expressar a velocidade da reação em termos do desaparecimento de A. Então, a gente teria que a nossa velocidade seria igual a um Δ. A gente teria aqui, na realidade, -Δ e a gente teria a concentração de A, ou seja, a variação na concentração de A dividido pela variação do tempo, pelo Δₜ. Lembre-se que a gente colocou esse sinal de negativo para obter um valor positivo de velocidade. Nós também podemos escrever a lei de velocidade, que a gente sabe que V vai ser igual a uma constante K, que vai multiplicar a concentração do meu reagente. E como essa uma reação de primeira ordem, a gente vai colocar, aqui, um expoente 1. Nós já conversamos sobre isso. Podemos dizer que essas duas equações são iguais. Então, se eu escrever isso, eu vou ter -Δ da minha concentração de A e, aqui, eu tenho o meu Δₜ que vai ser igual a K, que é a minha constante, que multiplica a concentração de A elevado a 1. Aqui na esquerda, nós temos a velocidade média. E se nós quisermos a velocidade instantânea, nós precisamos falar sobre cálculo, certo? Então, vamos começar fazendo. Aqui eu tenho "-d" da minha concentração de A e eu tenho que colocar, aqui embaixo, "dt" e aqui, do meu lado direito, eu vou ter K que vai multiplicar a minha concentração de A¹. Agora nós temos uma equação diferencial e quando você está resolvendo esse tipo de equação, você pode ter eventualmente uma função. A nossa função seria a concentração como uma função do tempo. Mas o seu primeiro passo para resolver uma equação diferencial é separar as suas variáveis. Então, vamos pegar um pouquinho de espaço. Nós precisamos multiplicar por A e, assim, nós teremos o lado esquerdo. Vamos fazer aqui. Eu tenho "d", tenho a minha concentração de A e eu tenho dividido pela concentração de A. E nos vamos multiplicar ambos os lados por "dt" para ter "t" do lado direito. Então, eu tenho -Kdt. Perceba que rearranjamos algumas coisas para que nós possamos integrar, certo? Depois, você precisa separar as variáveis para integrar. Então, nós vamos integrar a esquerda. Então, a gente tem, aqui, que a gente vai integrar a esquerda. E como K, aqui do lado direito, é uma constante, a gente pode deixá-la fora da nossa integral. Vamos ver o que nós estamos integrando. Vamos voltar aqui, no início. Para o tempo, nós estamos saindo de um tempo igual a zero para um tempo igual a "t". E para minha concentração, eu saio de uma concentração inicial para uma concentração em um certo tempo. Então, vamos escrever isso. Vamos voltar, aqui. Nós vamos escrever que estamos integrando, então, saindo de um tempo zero até um tempo "t". E aqui, nós temos a concentração inicial e aqui, nós temos a concentração em um certo tempo. Do lado esquerdo, nós temos dA dividido por A. Então, isso é igual a logaritmo natural de A, certo? Vamos escrever: eu tenho o logartimo natural da minha concentração de A e nós estamos indo de uma concentração inicial até uma concentração em um certo tempo. Então, até uma concentração em um tempo "t". Do lado direito, nós temos -K e a integral "dt" é igual a "t". Então, aqui nós temos "t", que vai de zero até um tempo "t". E agora, nós usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo. Então, pegando um pouquinho mais de espaço, aqui. Nós temos que o logaritmo natural da concentração de A em um tempo "t" menos o logartimo natural da concentração inicial de A vai ser igual a -K, que multiplica "t". Então, essa vai ser a minha lei integrada. Vamos escrever que eu tenho a minha lei integrada. A minha lei integrada de velocidade. Essa é uma maneira de escrever a lei integrada de velocidade. Essa é a sua equação oficial para uma reação de primeira ordem. Esse é um jeito de escrever. Você pode continuar a expressar isso de uma maneira diferente, que nós faremos em outro vídeo. Mas essa é uma equação que você pode usar para resolver seus exercícios. Então, vamos rearranjar isso um pouco. Vamos pegar um pouquinho de espaço e rearranjar. Vamos adicionar o logaritmo natural da concentração inicial do lado direito. Então, nós teremos que o logaritmo natural da concentração de A em um tempo "t" vai ser igual a -Kt mais o logaritmo natural da minha concentração inicial. A razão pela qual eu quis rearranjar é para que você veja que isso segue uma equação de uma linha reta, ou seja, a gente tem aqui "y" que vai ser igual a "ax + b". E se você pensar em um gráfico, você colocaria o logaritmo natural da concentração de A no tempo "t" no eixo "y" e você colocaria o tempo no eixo "x". E nós podemos dizer que "a" é a nossa inclinação, que vai ser igual a -K, vai ser a inclinação da minha reta, e onde "y" intercepta, ou seja, o meu "b" vai ser igual ao logaritmo natural da concentração inicial. Se nós tivermos um gráfico aqui... Vamos ver. Eu tenho um gráfico e vou marcar um ponto. Vou fazer uma linha reta. Vou fazer, mais ou menos, uma linha reta. No eixo "y", a gente vai ter o nosso logaritmo natural da concentração de Aₜ. Aqui, no eixo "x", nós vamos ter o tempo. E a inclinação da minha reta, vamos escrever aqui. A minha inclinação vai ser igual a -K. E a gente tem que esse ponto aqui, ou seja, a minha concentração no tempo zero, vai ser igual ao logaritmo natural da concentração inicial do meu reagente. Só relembrando que, a partir da inclinação da reta, você consegue descobrir a constante de velocidade. E o gráfico do logaritmo natural da concentração de Aₜ versus o tempo nos dá uma linha reta como inclinação igual a -K.