Questão 1a: pergunta discursiva do exame de Física Avançada 1 de 2015

RKA3JV - A figura acima mostra uma corda tendo uma das extremidades ligada a um oscilador e tendo a outra extremidade ligada a um bloco. Então, a gente tem aqui uma corda com uma das extremidades ligada a um oscilador e a outra extremidade ligada a este bloco aqui. A corda passa por uma polia sem massa e que gira livremente, ou seja, o atrito é desprezível. Então, essa polia aqui tem a liberdade de se movimentar sem atrito. Quatro cordas "a, b, c e d" são colocadas lado a lado como mostra o diagrama abaixo. Então, a gente tem aqui um diagrama mostrando essas quatro cordas que foram colocadas aqui lado a lado. Cada oscilador é ajustado para vibrar a corda em suas frequências fundamentais "f". Então, esses osciladores aqui vão estar ajustados para fazer com que cada uma das cordas oscile em suas frequências fundamentais. Vamos destacar essa parte aqui que vai ser importante para a gente. A distância "L" entre cada oscilador e a polia é a mesma. Então, essa distância que a gente tem aqui, entre o oscilador e essa polia é a mesma e vale "L". A massa de cada bloco também é a mesma, então, as massas aqui são todas iguais. E essa massa é que vai oferecer uma tensão para essa corda. Então, a gente já sabe de cara que a força de tensão aplicada sobre cada uma das cordas vai ser a mesma. No entanto, a frequência fundamental de cada corda é diferente. Então, a gente tem aqui a frequência fundamental para cada uma das cordas sendo diferente. Então, vamos até destacar isso aqui também. A frequência fundamental de cada corda é diferente. Ok! É interessante a gente pensar nessa frequência fundamental aqui, que eu destaquei tanto aqui, quanto aqui. Afinal de contas, é isso que vai ser diferente nessas cordas aqui embaixo. Mas, o que seria essa frequência fundamental? Basicamente, a frequência fundamental é a menor frequência possível para fazer com que uma onda se torne estacionária. E uma onda estacionária aqui, neste caso, é que vai estar oscilando entre esses dois pontos aqui. E a frequência fundamental, que é essa menor frequência, ocorre quando a gente tem uma onda desse jeito aqui. E, obviamente, que essa onda vai estar oscilando entre esse ponto aqui e esse ponto aqui embaixo. A gente pode até completá-la aqui. E aqui nós temos uma onda estacionária, uma onda que vai estar oscilando entre estes dois pontos aqui. E a menor frequência para que essa onda se torne estacionária é a frequência fundamental "f". E uma maneira de pensar na frequência fundamental, é saber que ela é a menor frequência para se criar uma onda estacionária, conforme essa daqui. Então, a gente vai ter aqui essa onda, na qual o comprimento de onda dela vai ser maior do que o comprimento da corda. Tecnicamente, este comprimento de onda será duas vezes o comprimento dessa corda. Então, a gente pode pensar neste comprimento de onda de duas formas. A primeira, como se essa onda fosse aqui por cima e depois continuasse aqui embaixo. A gente pode inclusive completá-la aqui por baixo. Uma outra maneira também de pensar nesse comprimento de onda é ir até o final e depois voltar aqui por baixo, já que essa corda vai estar oscilando entre essas duas posições aqui, ok? Então, essa é a frequência fundamental para uma onda estacionária em uma corda. E, claro, essa corda está vibrando desse jeito porque ela está sendo tensionada por esse bloco aqui. O objetivo desse bloco é apenas aplicar uma tensão sobre a corda. A força da gravidade atuando sobre esse bloco faz com que essa corda se mantenha tensionada. E este oscilador vai apenas fazer com que essa corda vibre em sua frequência fundamental, ou seja, a frequência mais baixa para a gente ter uma onda estacionária, deste jeito aqui. Então, vamos observar as perguntas agora. A equação para determinar a velocidade de uma onda em uma corda é: v = √ft / (M / L). Onde ft é a tensão sobre a corda e M/L é a massa da corda por unidade de comprimento, ou seja, a densidade linear da corda. Isso aqui faz muito sentido, porque se você pensar nessa força de tensão, se a tensão aumenta, a velocidade vai aumentar e inclusive você pode até pensar nisso a nível molecular. Porque se você tem uma molécula puxando a outra com uma força, quanto maior for a intensidade dessa força, essas moléculas vão se movimentar mais rápido. Então, é isso que faz com que a velocidade de uma onda através de uma corda seja maior. Agora, se a gente for pensar também nessa massa aqui no denominador, isso também faz muito sentido. Porque se a massa é a medida da inércia de um corpo ou de cada elemento dessa corda, quanto maior for a massa, que é a medida de inércia, menor será a aceleração. E, consequentemente, menor será a velocidade de propagação de uma onda por essa corda. Mas, neste caso, a gente não está vendo unicamente a massa, a gente está vendo, na verdade, a massa por unidade de comprimento. Então, quanto maior for essa densidade linear, ou seja, quanto mais massa por unidade de comprimento a gente tiver em uma corda, menor será a velocidade de propagação dessa onda por essa corda. Agora, uma coisa também que é importante a gente pensar aqui, é que essa velocidade é inversa à essa densidade linear, não é algo inversamente proporcional, mas é inverso, já que a gente tem essa raiz aqui. A gente vai pensar um pouco mais a respeito disso, daqui a pouquinho, tudo bem? Então, vamos ver aqui a pergunta "a". Qual a diferença nas quatro cordas mostradas acima que resultaria em ter diferentes frequências fundamentais? Explique como chegou à sua resposta. E a letra "b" pede o seguinte: o gráfico da frequência estudada é uma função do inverso da densidade linear da corda. Este gráfico é linear? Explique como chegou à sua resposta. Ok! Vamos pensar aqui, inicialmente na letra "a". E para gente responder a letra "a", a gente precisa lembrar algumas coisas fundamentais sobre as ondas. A gente precisa lembrar que a velocidade de propagação de qualquer onda depende de duas grandezas físicas. O comprimento dessa onda e a frequência. Assim, a velocidade de propagação de uma onda é igual ao produto entre o comprimento de onda, dessa onda, e a frequência. Se a gente dividir aqui em ambos os lados pelo comprimento de onda, a gente tem que a frequência de uma onda vai ser igual à velocidade de propagação dessa onda sobre o comprimento de onda. Certo? Neste problema aqui, a gente está querendo saber o que tem de diferente em cada uma dessas cordas que resulta em cada uma delas ter uma frequência fundamental diferente. A gente vai determinar aqui, nesse caso, a sua frequência fundamental. A gente coloca aqui frequência fundamental. A frequência fundamental vai ser igual à velocidade de propagação de uma onda. A gente sabe que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda é isso aqui. Então, a gente pode colocar a raiz quadrada da força de tensão, sobre M, sobre L, que é a densidade da corda, certo? E isso aqui dividido pelo comprimento de onda. No caso dessa frequência fundamental, o comprimento de onda vai ser igual a duas vezes o comprimento. Ok! Agora, antes de seguir, vamos fazer algumas discussões aqui. A gente sabe que a força de tensão não muda. Por que a força de tensão não muda? Porque a massa dos blocos é a mesma nos quatro casos. Então, a gente pode dizer que a força de tensão aqui, neste caso, é a mesma para todos os quatro casos, para todas as quatro cordas. Então, essa não é a diferença que vai resultar em frequências fundamentais diferentes. Outro detalhe também, como a corda tem o mesmo comprimento nos quatro casos, esse comprimento aqui também não vai mudar e nem este aqui também, vai ser o mesmo para todos os casos. Então, a única coisa que vai ser diferente aqui é a massa dessas cordas. Então, a massa aqui vai ser diferente para os quatro casos. E é essa massa que vai fazer com que cada uma dessas cordas tenha uma frequência fundamental diferente. Então, vamos escrever isso aqui. As cordas possuem massas, na verdade, não é apenas a massa, é densidade linear, neste caso. Mas, como o comprimento das cordas é igual, é apenas a massa que vai influenciar nessa diferença de frequência fundamental. A gente pode colocar que as cordas possuem massas, na verdade, densidades lineares diferentes, enquanto que as demais variáveis da frequência fundamental, são as mesmas nas quatro cordas. Ok? Então, vamos ver aqui. O gráfico da frequência estudada é uma função do inverso da densidade linear da corda. Esse gráfico é linear? Explique como chegou à sua resposta. A gente já tem aqui a frequência fundamental, e podemos abrir um pouco isso aqui. Então, vamos colocar aqui, essa daqui é a letra "a". E vamos resolver aqui embaixo a letra "b". Então, o que eu quero aqui neste caso é determinar a frequência em função da densidade linear da corda. Então, a gente vai ter aqui que a frequência vai ser uma função da densidade linear da corda. Isso aqui vai ser igual, eu vou abrir um pouco essa conta aqui. 1/2L vezes a raiz quadrada da tensão atuando sobre a corda, sobre a densidade linear que é M/L. Então, como eu quero estudar essa função aqui da densidade linear, eu vou separar isso aqui dessa conta. Então, a gente vai ter aqui 1 vezes a raiz de ft, que é a própria raiz da força de tensão, sobre duas vezes L. Tudo isso daqui é constante, como a gente já viu na letra "a". A força de tensão não muda e o comprimento não muda. Isso aqui vezes 1, sobre a raiz quadrada da densidade linear que é M/L. Então, essa densidade linear aqui é a única coisa que vai mudar, porque a massa vai mudar, certo? Então, a gente já sabe que o gráfico da frequência estudada é uma função do inverso da densidade linear da corda, conforme a gente já viu aqui nessa parte. Agora, esse gráfico gerado por essa função, vai ser linear? Não. Por que não vai ser linear? Porque a gente tem uma raiz quadrada aqui nessa densidade linear. Se a gente não tivesse essa raiz, a gente teria uma função linear nesse caso. Mas, devido a essa raiz, definitivamente essa função não é linear. A função de M/L não é linear, pois temos uma raiz quadrada de M/L. Ou seja, essa função tem uma raiz quadrada da densidade linear. Então, essa daqui não seria uma função linear por esse motivo. Ok. Vamos ver a letra "c". A frequência do oscilador ligado à corda "D" é alterada para que a corda vibre em seu segundo harmônico. Na visão lateral da corda "D" abaixo, marque e rotule os pontos sobre a corda que tem maior velocidade vertical média. Uma forma da gente pensar nesse problema aqui é lembrando que o primeiro harmônico é aquela menor frequência que faz uma onda se tornar estacionária. Então, eu mostrei para vocês ali em cima. Eu posso até desenhar aqui de novo. A gente tem aqui o nosso primeiro harmônico tendo essa situação aqui, desse jeito. Então, nossa onda vai oscilar, indo até este ponto máximo e até esse ponto mínimo aqui, certo? Então, a gente tem essa oscilação aqui para o primeiro harmônico. E o comprimento de onda aqui, neste caso, vai ser igual a duas vezes o comprimento da corda. Agora, a segunda frequência harmônica ou segundo harmônico, é a próxima frequência que faz essa onda se tornar estacionária novamente. E aí, neste caso, essa onda não vai oscilar mais desta forma. Mas, sim vindo até esse ponto aqui e depois descendo aqui. Aqui teremos um nó, depois ela desce aqui neste ponto e sobe novamente. Aí, depois ela retorna ali pelo outro lado, deste jeito aqui, vem aqui novamente, passa pelo nó e retorna aqui desse outro lado. Então, a gente tem aqui uma onda estacionária no segundo harmônico, ou seja, a segunda frequência que faz essa onda se tornar estacionária. Neste caso, agora, o nosso comprimento de onda será igual ao comprimento da corda. Se a gente pensar que a gente vai, sobe, desce, aqui sobe e desce novamente. A gente completa uma oscilação com o comprimento da corda. Mas, agora a pergunta diz: na visão lateral, marque e rotule os pontos sobre a corda que têm maior velocidade vertical média. Aqui, neste caso, quais são os pontos que têm maior velocidade vertical média? Seria esse ponto aqui. O desenho não está representando muito bem, mas seria aqui a 1/4 do comprimento de onda ou 1/4 do comprimento da corda. Ou esse outro ponto aqui também, que é 3/4 do comprimento da corda. Então, esses são os dois pontos em que a gente tem maior velocidade vertical média, já que são os pontos de maior oscilação para essa corda para esse segundo harmônico aqui.